矩陣乘法和矩陣快速冪

摘要

本文主要講解矩陣乘法和矩陣快速冪。內容不難，都是定理，重點是矩陣乘法的應用。

藍橋杯知識點彙總：
https://blog.csdn.net/GD_ONE/article/details/104061907

矩陣

數學上，一個${\displaystyle m\times n}$的矩陣是一個由$m$行（row）n列（column）元素排列成的矩形陣列。矩陣裏的元素可以是數字、符號或數學式。以下是一個由6個數字元素構成的2行3列的矩陣：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}}$
-------引用自維基百科。

知道了矩陣是什麼後，看看什麼是矩陣乘法。

矩陣乘法

數學中，矩陣乘法（英語：matrix multiplication）是一種根據兩個矩陣得到第三個矩陣的二元運算，第三個矩陣即前兩者的乘積，稱爲矩陣積（英語：matrix product）。設${\displaystyle A}$是${\displaystyle n\times m}$的矩陣，${\displaystyle B}$是${\displaystyle m\times p}$的矩陣，則它們的矩陣積${\displaystyle AB}$是${\displaystyle n\times p}$的矩陣。${\displaystyle A}$中每一行的${\displaystyle m}$個元素都與${\displaystyle B}$中對應列的${\displaystyle m}$個元素對應相乘，這些乘積的和就是${\displaystyle AB}$中的一個元素。
-------引用自維基百科。

直接看圖：

矩陣乘法的代碼實現就是直接模擬乘法過程，所以沒什麼好說的，直接給出代碼：

public static void mut_mul(long[][] a, long[][] b, long[][] c){ // c = a * b
		long[][] t = {{0, 0}, {0, 0}}; // 中間數組
		
		for(int i = 0; i < 2; i++)
			for(int j = 0; j < 2; j++)
				for(int k = 0; k < 2; k++)
					t[i][j] = (t[i][j] + (a[i][k]*b[k][j]) % mod)%mod;
					
		for(int i = 0; i < 2; i++) c[i] = Arrays.copyOf(t[i], 2);
	}

矩陣快速冪

矩陣快速冪和普通快速冪思路完全一樣，實現代碼的時候將整數乘法變爲矩陣乘法就可以了。
代碼：

public static void mut_mul(long[][] a, long[][] b, long[][] c){
		long[][] t = {{0, 0}, {0, 0}}; 
		
		for(int i = 0; i < 2; i++)
			for(int j = 0; j < 2; j++)
				for(int k = 0; k < 2; k++)
					t[i][j] = (t[i][j] + (a[i][k]*b[k][j]) % mod)%mod;
					
		for(int i = 0; i < 2; i++) c[i] = Arrays.copyOf(t[i], 2);
	}
	
	
	public static void qmi(long[][] a, long b, long[][] c){// a = a * c^b
		while(b != 0){
			if((b & 1) == 1){
				mut_mul(a, c, a);
			}
			b >>= 1;
			mut_mul(c, c, c);
		}
	}

以上就是矩陣快速冪的代碼了。

矩陣乘法的應用

矩陣是數學家求解線性方程組的過程中發明的，對於：

將未知數的係數歸爲一個矩陣，將未知數歸爲一個矩陣，將結果歸爲一個矩陣得到：

用第一個矩陣乘以第二個矩陣，就可以得到原來的線性方程組。
所以矩陣相乘更像是一種函數，讓第一個矩陣通過某種映射關係，轉化到另一個矩陣。

對於斐波那契數列數列：$1,1,2,3,5,7...$
轉化爲關係式：$f[n] = f[n-1] + f[n-2]$
從第三項開始，每一項都是前兩項的和，我們能否用矩陣相乘來表示這個關係呢？
設矩陣A爲：

設矩陣C爲：

矩陣A怎麼變爲矩陣C呢？
矩陣C的第一個元素爲$f[n-1],第二個元素爲f[n-2] 。矩陣A的第一個元素也爲f[n-1]，那麼讓矩陣A中的f[n-1]乘以1，讓f[n-2]乘以0，不就得到f[n-1]了嘛，然後讓f[n-1]*1 + f[n-2]*1， 不就得到f[n]了嘛$

所以我們構造出一個關係矩陣：

於是可以將$f[n] = f[n-1] + f[n-2]$ 轉化爲:
對於斐波那契數列來說，關係矩陣是不變的，所以如果要用上式來求斐波那契數列的第$n$的話，我們可以這樣做：

即用矩陣$[1, 1]$乘以關係矩陣n-1次。
這樣做的時間複雜度反而比用原本的關係式遞推求$f[n]$更高了，但是我們可以對其進行優化，那就是用矩陣快速冪來算關係矩陣的(n-1)次方。這樣時間複雜度就降到了$O(log(n))$級別。

一般要用矩陣乘法求解的問題都要構造一個關係矩陣，能否正確的構造出關係矩陣，就是解題的關鍵了。

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例題：

藍橋杯 算法訓練 奇異的蟲羣

問題描述
　　在一個奇怪的星球上駐紮着兩個蟲羣A和B，它們用奇怪的方式繁殖着，在t+1時刻A蟲羣的數量等於t時刻A蟲羣和B蟲羣數量之和，t+1時刻B蟲羣的數量等於t時刻A蟲羣的數量。由於星際空間的時間維度很廣闊，所以t可能很大。OverMind 想知道在t時刻A蟲羣的數量對 p = 1,000,000,007.取餘數的結果。當t=1時 A種羣和B種羣的數量均爲1。
輸入格式
　 測試數據包含一個整數t，代表繁殖的時間。
輸出格式
　 輸出一行，包含一個整數，表示對p取餘數的結果
樣例輸入
　 10
樣例輸出
　 89
樣例輸入
　 65536
樣例輸出
　 462302286
　
數據規模和約定
　　對於50%的數據 t<=10^9
　　對於70%的數據 t<=10^15
　　對於100%的數據 t<=10^18

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題解：
正解就是構造一個關係矩陣，然後用求斐波那契數列第n項的方式求解答案就可以了，先不看下面的題解，自己嘗試構造一下吧。

題目說：在$t+1時刻，A等於t時刻的A+B，B等於t時刻的A$。
我們設矩陣A爲$[A_t, B_t]$, 矩陣C爲$[A_t + B_t, A_t]$
則關係矩陣爲：

得到關係矩陣後就直接套用矩陣乘法和矩陣快速冪模板就可以了，$第t時刻的矩陣等於[1, 1] * 關係矩陣的(n-1)次方$

AC代碼:

因爲最大數據是$10^{18}$,注意用long，還有一點是，因爲數據太大了，矩陣乘法中，加法加完也要取模。

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
	
	static BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
	static BufferedWriter out = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
	
	static final int mod = 1000000007;
	
	public static void mut_mul(long[][] a, long[][] b, long[][] c){
		long[][] t = {{0, 0}, {0, 0}}; // 中間數組
		
		for(int i = 0; i < 2; i++)
			for(int j = 0; j < 2; j++)
				for(int k = 0; k < 2; k++)
					t[i][j] = (t[i][j] + (a[i][k]*b[k][j]) % mod)%mod;
					
		for(int i = 0; i < 2; i++) c[i] = Arrays.copyOf(t[i], 2);
	}
	
	
	public static void qmi(long[][] a, long b, long[][] c){// a = a * c^b
		while(b != 0){
			if((b & 1) == 1){
				mut_mul(a, c, a);
			}
			b >>= 1;
			mut_mul(c, c, c);
		}
	}
	
	public static void main(String[] args) throws NumberFormatException, IOException{
		long n;
		n = Long.valueOf(in.readLine());
		long[][] a = {{1,1}, {0,0}}; //初始A和B都是1， 然後因爲矩陣乘法都是二維數組，所以這裏也將其寫作二維數組。
		long[][] c = {{1, 1}, {1, 0}};// 關係數組
		qmi(a, n-1, c);
		out.write(a[0][0] + "\n");
		out.flush();
	}
}