線性代數——向量1

向量(vector)

向量: $n$個數$a_1,a_2,···,a_n$組成的有序數組$(a_1,a_2,···,a_n)$被稱作向量,分量數稱爲向量的維數,向量可以寫作行，稱爲行向量，如$(a_1,a_2,···,a_n)$；向量寫作列，稱爲列向量，如$\left(\begin{matrix}a_1\\a_2\\···\\a_n\end{matrix}\right)$,本質上沒有區別，但是形式上有區別。
零向量: 分量都是零的向量稱爲零向量。

向量的運算規律

兩個***同維向量***的分量都相等，我們稱這兩個向量相等。

兩個同維向量相加(相減)就是分別將每個分量相加(相減)

向量的數乘就是用數分別乘以每個分量

向量的線性關係

線性組合

$β,α_1,α_2,···,α_n$是$m$維向量,若存在$k_1,k_2,···,k_n$,使得
$β=k_1α_1+k_2α_2+···+k_nα_n$成立，則稱$β$是$α$向量組的線性組合或者$β$是$α$向量組的線性表示,$k_1,k_2,···,k_n$稱爲組合係數。

性質

1. 零向量可由任意向量組表示
2. 向量組中任取一個向量可由該向量組表示
3. 任意向量均可由$ε_1=(1,0,···,0),ε_2=(0,1,0,···,0),···,ε_n=(0,0,···,0,1)$表示

向量組的等價

兩個同維向量組可以相互線性表示，則稱這兩個向量組等價

1. 反身性:一個向量組和自己是等價的
2. 對稱性:一個向量組$A$和另一個向量組$B$是等價的，那麼向量組$B$和向量組$A$也是等價的
3. 傳遞性:如果向量組$A$和向量組$B$等價，向量組$B$和向量組$C$是等價的，那麼向量組$A$和向量組$C$也是等價的

線性相關與線性無關

如果$α_1,α_2,···,α_n$是$n$個$m$維向量，若存在一組不全爲$0$的$k_1,k_2,···,k_n$使得$k_1α_1+k_2α_2+···+k_nα_n=0$，則認爲$α_1,α_2,···,α_n$是線性相關。
線性無關:

1. 不是線性相關
2. 找不到一組不全爲0的$k_1-k_n$使得$k_1α_1+k_2α_2+···+k_nα_n=0$成立
3. $k_1α_1+k_2α_2+···+k_nα_n=0$成立時，$k_1,···,k_n$必全爲$0$

結論

1. 向量組中兩個向量成比例，那麼這個向量組是線性相關。
2. 含有零向量 的任意向量組必線性相關。
3. 一個零向量 必線性相關
4. 一個非零向量 必線性無關
5. 一個向量$α$線性相關的充要條件是$α=0$
6. 如果$α_1,···,α_r$線性相關，那麼$α_1,···,α_r,α_{r+1},···,α_s$線性相關即***部分組線性相關，整體組線性相關***，推論是***整體組線性無關，部分組也線性無關***
7. 如果$α_1=(α_{11}···α_{1r})$,$α_2=(α_{21}···α_{2r})$,$···$,$α_m=(α_{m1}····α_{mr})$是線性無關的，那麼$γ_1=(α_{11}···α_{1r}α_{1{r+1}}···α_{1n})$,$γ_2=(α_{21}···α_{2r}α_{2{r+1}}···α_{2n})$,$···$,$γ_m=(α_{m1}···α_{mr}α_{m{r+1}}···α_{mn})$也是線性無關。即***線性無關的向量組，每個向量增加幾個分量組成的新的向量組(接長向量組)也是線性無關的***，逆否命題：一個線性相關的向量組每個向量去掉幾個分量組成的新的向量組(截短向量組)也是線性相關的
8. $n$個$n$維向量($n$維向量:向量的個數=向量的維數)構成的行列式$D\neq0$，那麼這$n$個$n$位向量線性無關，相反的，$D=0$時，他們線性相關。
9. $n$爲單維向量組,$ε_1···ε_n$線性無關

定理

1. $α_1,···,α_s$線性相關的充要條件是至少一個向量可由其餘向量表示
2. 如果$α_1,···,α_s$線性無關，$α_1,···,α_s,β$線性相關，那麼$β$可由$α_1,···,α_s$唯一線性表示
3. 替換 $\alpha_1\dots\alpha_s$可由$\beta_1\dots\beta_t$線性表示，則$s\leq t$，逆否命題:$\alpha_1\dots\alpha_s$可由$\beta_1\dots\beta_t$線性表示，如果$s>t$，那麼$\alpha_1\dots\alpha_s$線性相關

推論

1. 如果$m>n$，那麼$m$個$n$維向量線性相關。
2. 兩個等價的線性無關的向量組含向量的個數是相同的。

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