排序算法 平均時間複雜度 冒泡排序 O(n2) 選擇排序 O(n2) 插入排序 O(n2) 希爾排序 O(n1.5) 快速排序 O(N*logN) 歸併排序 O(N*logN) 堆排序 O(N*logN) 基數排序 O(d(n+r))
一. 冒泡排序(BubbleSort)
- 基本思想：兩個數比較大小，較大的數下沉，較小的數冒起來。
- 過程：
- 比較相鄰的兩個數據，如果第二個數小，就交換位置。
- 從後向前兩兩比較，一直到比較最前兩個數據。最終最小數被交換到起始的位置，這樣第一個最小數的位置就排好了。
- 繼續重複上述過程，依次將第2.3...n-1個最小數排好位置。
冒泡排序
- 平均時間複雜度：O(n2)
- java代碼實現：
public static void BubbleSort(int [] arr){ int temp;//臨時變量 for(int i=0; i<arr.length-1; i++){ //表示趟數，一共arr.length-1次。 for(int j=arr.length-1; j>i; j--){ if(arr[j] < arr[j-1]){ temp = arr[j]; arr[j] = arr[j-1]; arr[j-1] = temp; } } } }
- 優化：
- 針對問題： 數據的順序排好之後，冒泡算法仍然會繼續進行下一輪的比較，直到arr.length-1次，後面的比較沒有意義的。
- 方案： 設置標誌位flag，如果發生了交換flag設置爲true；如果沒有交換就設置爲false。 這樣當一輪比較結束後如果flag仍爲false，即：這一輪沒有發生交換，說明數據的順序已經排好，沒有必要繼續進行下去。
public static void BubbleSort1(int [] arr){ int temp;//臨時變量 boolean flag;//是否交換的標誌 for(int i=0; i<arr.length-1; i++){ //表示趟數，一共arr.length-1次。 flag = false; for(int j=arr.length-1; j>i; j--){ if(arr[j] < arr[j-1]){ temp = arr[j]; arr[j] = arr[j-1]; arr[j-1] = temp; flag = true; } } if(!flag) break; } }
二. 選擇排序(SelctionSort)
- 基本思想： 在長度爲N的無序數組中，第一次遍歷n-1個數，找到最小的數值與第一個元素交換； 第二次遍歷n-2個數，找到最小的數值與第二個元素交換； 。。。 第n-1次遍歷，找到最小的數值與第n-1個元素交換，排序完成。
- 過程： 選擇排序
- 平均時間複雜度：O(n2)
- java代碼實現：
public static void select_sort(int array[],int lenth){ for(int i=0;i<lenth-1;i++){ int minIndex = i; for(int j=i+1;j<lenth;j++){ if(array[j]<array[minIndex]){ minIndex = j; } } if(minIndex != i){ int temp = array[i]; array[i] = array[minIndex]; array[minIndex] = temp; } } }
三. 插入排序(Insertion Sort)
- 基本思想： 在要排序的一組數中，假定前n-1個數已經排好序，現在將第n個數插到前面的有序數列中，使得這n個數也是排好順序的。如此反覆循環，直到全部排好順序。
- 過程： 插入排序
相同的場景 - 平均時間複雜度：O(n2)
- java代碼實現：
public static void insert_sort(int array[],int lenth){ int temp; for(int i=0;i<lenth-1;i++){ for(int j=i+1;j>0;j--){ if(array[j] < array[j-1]){ temp = array[j-1]; array[j-1] = array[j]; array[j] = temp; }else{ //不需要交換 break; } } } }
四. 希爾排序(Shell Sort)
- 前言： 數據序列1： 13-17-20-42-28 利用插入排序，13-17-20-28-42. Number of swap:1; 數據序列2： 13-17-20-42-14 利用插入排序，13-14-17-20-42. Number of swap:3; 如果數據序列基本有序，使用插入排序會更加高效。
- 基本思想： 在要排序的一組數中，根據某一增量分爲若干子序列，並對子序列分別進行插入排序。 然後逐漸將增量減小,並重覆上述過程。直至增量爲1,此時數據序列基本有序,最後進行插入排序。
- 過程： 希爾排序
- 平均時間複雜度：
- java代碼實現：
public static void shell_sort(int array[],int lenth){ int temp = 0; int incre = lenth; while(true){ incre = incre/2; for(int k = 0;k<incre;k++){ //根據增量分爲若干子序列 for(int i=k+incre;i<lenth;i+=incre){ for(int j=i;j>k;j-=incre){ if(array[j]<array[j-incre]){ temp = array[j-incre]; array[j-incre] = array[j]; array[j] = temp; }else{ break; } } } } if(incre == 1){ break; } } }
五. 快速排序(Quicksort)
- 基本思想：（分治）
- 先從數列中取出一個數作爲key值；
- 將比這個數小的數全部放在它的左邊，大於或等於它的數全部放在它的右邊；
- 對左右兩個小數列重複第二步，直至各區間只有1個數。
- 輔助理解：挖坑填數
- 初始時 i = 0; j = 9; key=72
由於已經將a[0]中的數保存到key中，可以理解成在數組a[0]上挖了個坑，可以將其它數據填充到這來。
從j開始向前找一個比key小的數。當j=8，符合條件，a[0] = a[8] ; i++ ; 將a[8]挖出再填到上一個坑a[0]中。
這樣一個坑a[0]就被搞定了，但又形成了一個新坑a[8]，這怎麼辦了？簡單，再找數字來填a[8]這個坑。
這次從i開始向後找一個大於key的數，當i=3，符合條件，a[8] = a[3] ; j-- ; 將a[3]挖出再填到上一個坑中。
數組：72 - 6 - 57 - 88 - 60 - 42 - 83 - 73 - 48 - 85 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
- 此時 i = 3; j = 7; key=72
再重複上面的步驟，先從後向前找，再從前向後找。
從j開始向前找，當j=5，符合條件，將a[5]挖出填到上一個坑中，a[3] = a[5]; i++;
從i開始向後找，當i=5時，由於i==j退出。
此時，i = j = 5，而a[5]剛好又是上次挖的坑，因此將key填入a[5]。
數組：48 - 6 - 57 - 88 - 60 - 42 - 83 - 73 - 88 - 85 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
- 可以看出a[5]前面的數字都小於它，a[5]後面的數字都大於它。因此再對a[0…4]和a[6…9]這二個子區間重複上述步驟就可以了。
數組：48 - 6 - 57 - 42 - 60 - 72 - 83 - 73 - 88 - 85 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
- 平均時間複雜度：O(N*logN)
- 代碼實現：
public static void quickSort(int a[],int l,int r){ if(l>=r) return; int i = l; int j = r; int key = a[l];//選擇第一個數爲key while(i<j){ while(i<j && a[j]>=key)//從右向左找第一個小於key的值 j--; if(i<j){ a[i] = a[j]; i++; } while(i<j && a[i]<key)//從左向右找第一個大於key的值 i++; if(i<j){ a[j] = a[i]; j--; } } //i == j a[i] = key; quickSort(a, l, i-1);//遞歸調用 quickSort(a, i+1, r);//遞歸調用 }
key值的選取可以有多種形式，例如中間數或者隨機數，分別會對算法的複雜度產生不同的影響。
六. 歸併排序(Merge Sort)
- 基本思想：參考
歸併排序是建立在歸併操作上的一種有效的排序算法。該算法是採用分治法的一個非常典型的應用。
首先考慮下如何將2個有序數列合併。這個非常簡單，只要從比較2個數列的第一個數，誰小就先取誰，取了後就在對應數列中刪除這個數。然後再進行比較，如果有數列爲空，那直接將另一個數列的數據依次取出即可。
//將有序數組a[]和b[]合併到c[]中 void MemeryArray(int a[], int n, int b[], int m, int c[]) { int i, j, k; i = j = k = 0; while (i < n && j < m) { if (a[i] < b[j]) c[k++] = a[i++]; else c[k++] = b[j++]; } while (i < n) c[k++] = a[i++]; while (j < m) c[k++] = b[j++]; }
解決了上面的合併有序數列問題，再來看歸併排序，其的基本思路就是將數組分成2組A，B，如果這2組組內的數據都是有序的，那麼就可以很方便的將這2組數據進行排序。如何讓這2組組內數據有序了？ 可以將A，B組各自再分成2組。依次類推，當分出來的小組只有1個數據時，可以認爲這個小組組內已經達到了有序，然後再合併相鄰的2個小組就可以了。這樣通過先遞歸的分解數列，再合併數列就完成了歸併排序。
- 過程： 歸併排序
- 平均時間複雜度：O(NlogN) 歸併排序的效率是比較高的，設數列長爲N，將數列分開成小數列一共要logN步，每步都是一個合併有序數列的過程，時間複雜度可以記爲O(N)，故一共爲O(N*logN)。
- 代碼實現：
public static void merge_sort(int a[],int first,int last,int temp[]){ if(first < last){ int middle = (first + last)/2; merge_sort(a,first,middle,temp);//左半部分排好序 merge_sort(a,middle+1,last,temp);//右半部分排好序 mergeArray(a,first,middle,last,temp); //合併左右部分 } }
//合併 ：將兩個序列a[first-middle],a[middle+1-end]合併 public static void mergeArray(int a[],int first,int middle,int end,int temp[]){ int i = first; int m = middle; int j = middle+1; int n = end; int k = 0; while(i<=m && j<=n){ if(a[i] <= a[j]){ temp[k] = a[i]; k++; i++; }else{ temp[k] = a[j]; k++; j++; } } while(i<=m){ temp[k] = a[i]; k++; i++; } while(j<=n){ temp[k] = a[j]; k++; j++; } for(int ii=0;ii<k;ii++){ a[first + ii] = temp[ii]; } }
七. 堆排序(HeapSort)
- 基本思想：
- ** 圖示：** （88,85,83,73,72,60,57,48,42,6）
Heap Sort - 平均時間複雜度：O(NlogN) 由於每次重新恢復堆的時間複雜度爲O(logN)，共N - 1次重新恢復堆操作，再加上前面建立堆時N / 2次向下調整，每次調整時間複雜度也爲O(logN)。二次操作時間相加還是O(N * logN)。
- java代碼實現：
//構建最小堆 public static void MakeMinHeap(int a[], int n){ for(int i=(n-1)/2 ; i>=0 ; i--){ MinHeapFixdown(a,i,n); } } //從i節點開始調整,n爲節點總數 從0開始計算 i節點的子節點爲 2*i+1, 2*i+2 public static void MinHeapFixdown(int a[],int i,int n){ int j = 2*i+1; //子節點 int temp = 0; while(j<n){ //在左右子節點中尋找最小的 if(j+1<n && a[j+1]<a[j]){ j++; } if(a[i] <= a[j]) break; //較大節點下移 temp = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = temp; i = j; j = 2*i+1; } }
public static void MinHeap_Sort(int a[],int n){ int temp = 0; MakeMinHeap(a,n); for(int i=n-1;i>0;i--){ temp = a[0]; a[0] = a[i]; a[i] = temp; MinHeapFixdown(a,0,i); } }
八. 基數排序(RadixSort)
BinSort
- 基本思想： BinSort想法非常簡單，首先創建數組A[MaxValue]；然後將每個數放到相應的位置上（例如17放在下標17的數組位置）；最後遍歷數組，即爲排序後的結果。
- ** 圖示：**
BinSort - ** 問題：** 當序列中存在較大值時，BinSort 的排序方法會浪費大量的空間開銷。
RadixSort
- 基本思想： 基數排序是在BinSort的基礎上，通過基數的限制來減少空間的開銷。
- 過程： 過程1
過程2
（1）首先確定基數爲10，數組的長度也就是10.每個數34都會在這10個數中尋找自己的位置。
（2）不同於BinSort會直接將數34放在數組的下標34處，基數排序是將34分開爲3和4，第一輪排序根據最末位放在數組的下標4處，第二輪排序根據倒數第二位放在數組的下標3處，然後遍歷數組即可。 - java代碼實現：
public static void RadixSort(int A[],int temp[],int n,int k,int r,int cnt[]){ //A:原數組 //temp:臨時數組 //n:序列的數字個數 //k:最大的位數2 //r:基數10 //cnt:存儲bin[i]的個數 for(int i=0 , rtok=1; i<k ; i++ ,rtok = rtok*r){ //初始化 for(int j=0;j<r;j++){ cnt[j] = 0; } //計算每個箱子的數字個數 for(int j=0;j<n;j++){ cnt[(A[j]/rtok)%r]++; } //cnt[j]的個數修改爲前j個箱子一共有幾個數字 for(int j=1;j<r;j++){ cnt[j] = cnt[j-1] + cnt[j]; } for(int j = n-1;j>=0;j--){ //重點理解 cnt[(A[j]/rtok)%r]--; temp[cnt[(A[j]/rtok)%r]] = A[j]; } for(int j=0;j<n;j++){ A[j] = temp[j]; } } }
