數據結構與算法之二分法

數據結構與算法之二分法

萬物皆可分

 二分法應該是我們熟悉的內容，因爲在初高中的數學課堂中均會設計到二分的思想。比如，我們求某一無理數的近似值，就是通過二分法。比如求$\sqrt{2}$的近似值，範圍在[1,2]內。顯然我們可以先取中點3/2,顯然3/2的平方大於2，故在取區間[1,3/2]然後依次操作，直至區間長度達到所需的精度。

double eps=1e-5;
int f(double mid){
  return mid*mid;
}
int two_find(){
  double left=1;
  double right=2;
  double mid;
  while(right-left<eps){//達到所需的精度時就退出
      mid=(right-left)/2;
      if(f(mid)>2){
          right=mid;//在左側的區間進行逼近
      }
      else{
          left=mid;//在右側的區間進行逼近
  
      return mid;  
  }
}

 延續這一思路，我們在查找某一特定值是時候可以用上這一算法的思想。
例如：現有一個遞增的整數序列，我們現在想知道這個整數的序列中是否存在一個值x,若存在則返回它所在的位置。
分析：我們當然可以將這個數組遍歷一遍，但是時間複雜度是O(n)。我們學數據結構與算法的意義就是用簡單、可行的方法解決一個問題。現在，我們要想想能否一個方法將時間複雜度再降低。聯繫今天介紹的內容，我們可以嘗試用二分查找的方法，就是第一個例子一樣，我們將每次查找的區間範圍減少一半。
總的來說，O(n)的方法就是從頭一個個查找，而二分查找就是先從序列的中間位置進行查找，然後再確定一個小區間，然後在折半。所以它的時間複雜度就是O(logn)。另外注意的是，查找的區間應該是有着一定的順序的，比如遞增或遞減。如果序列是無順序的無規律的，那麼就無法使用二分查找，只能老老實實的運用暴力搜索了。
例子：一組遞增的序列，查找其中是否有x,若有則返回其位置。

int a[10];
int left=0;
int right=9;
int x;
int two_find(){
    while(lef<=right){
        int mid=(left+right)/2;
        if(mid==x){
            return mid;// 查找成功，返回位置。
        }
        if(mid>x){
            right=mid+1;//在左區間
        }
        if(mid< x){
            left=mid+1;// 在右區間
        }
    }
    return -1;
}

推廣(1)：現在我不滿足於找到x了，而是嘗試找到序列中第一個大於等於x的元素位置。 注意：該序列中有重複的元素，且遞增。
分析：其實我們得思考多種情況。
一是：該序列存在一個x。
二是，該序列中存在多個x，那麼我們就得尋找第一個x的位置。二是，該序列中不存在x，但是x值位於某兩個x值的之間，顯然我們得返回後一個值，作爲找到了第一個大於x的元素。三是：該序列不存在，且x大於序列中的任何一個元素值。
所以我們得在二分查找的代碼基礎上做一些改動。首先，當f(mid)==x時，不能直接返回mid值，因爲序列中可能會有多個x值,你無法保證返回的mid值就是第一個x的位置。所以，這時候第一個x肯定在左區間，這時right=mid。不能是right=mid-1，可能會錯過第一個x。
故當f(mid)>=x時。所以right=mid。
相應的，當f(mid)<x時，直接left=mid+1。程序並且返回left,因爲此時的left值肯定是滿足要求。

int a[10];
int left=0;
int right=9;
int x;
int two_find(){
   while(lef<right){//當left與right相鄰時，mid取得是left,故當right==left時，仍得運行一次，用以left+1
       int mid=(left+right)/2;
       
       if(mid>=x){
           right=mid;//在左區間
       }
       if(mid< x){
           left=mid+1;// 在右區間
       }
   }
   return left;
}

推廣（2）：仍是同一個序列，但是我們要的是第一個大於x的元素的位置。
分析：相當於求出x緊鄰後邊的元素。所以如果有重複x值時，且當a[mid]==x時，我們應該將mid不斷後移才能找到符合條件的。

int a[10];
int left=0;
int right=9;
int x;
int two_find(){
   while(lef<right){//當left與right相鄰時，mid取得是left,故當right==left時，仍得運行一次，用以left+1
       int mid=(left+right)/2;
       
       if(mid>x){
           right=mid;//在左區間
       }
       if(mid< =x){
           left=mid+1;// 在右區間
       }
   }
   return left;
}

 木棒切割問題：給出N段木棒，長度均已知，現在希望通過切割它們得到至少K段長度相等（長度爲整數）木棒，問：這些長度相等的木棒的長度最大值是？
分析：假設按長度爲x來切割，得到了a段那麼目前我們可以知道x越小我們就可以得到越短的段數。所以我們依次可以通過的對x進行嘗試，直到滿足條件的a。但是嘗試也是要遵循一定的章法，聯繫上文，我們可以採用二分法來解決問題。
 首先我們先找尋x的可行區間，爲[1,maxn],其中maxn是給定木棒長度的最大值。然後進行二分，得到mid，接着我們計算此時的會切割成多少段，若此時的段數a小於k，則我們應該去往左區間繼續尋找。當大於k時，我們去右區間尋找。我們必須考慮當等於k時，我們不能直接返回了此時的x，因爲會有連續幾個x值，都會使得這些木棒被切割爲k段，我們要找最大的x值，即這些x中的最後（右邊末尾的那個），所以我們可以參考上文“尋找第一個大於x的位置”，只不過最後我們得往後退一個纔是滿足條件的臨界長度。
代碼如下：

int wud[n];//存儲每根木棒的長度
int k;//題目要求的段數
int max_l;//理論上可以滿足要求的最大切割長度
int sum=0;
for(int i=0;i<k;i++){
    sum+=wud[i];
}
max_l=sum/k;
int right,left;
int ans;
right=1;//切割長度的區間
left=max_l;
while(right<left){
    int cnt=0;
    mid=(right+left)/2;
    for(int i=0;i<k;i++){
        cnt+=wud[i]/mid;
    }
    if(cnt<k){//此時切割的長度過大
        right=mid;
    }
    if(cnt>=k){//此時切割的長度過小
        left=mid+1;
    }

}
ans=left-1;//得往後退一個，纔是臨界長度。

  總結：二分法的應用是有着條件。即一是，我們得有一個確切的區間，這樣我們才能進行查找。二是，我們得有個查找的條件，根據這個條件我們能不斷的修正我們查找的範圍，這樣最後才能找到或者無限的逼近最終的答案。