3月之從零開始的ACM

2020.3
3.19
學習ST表，處理區間求最值。
對於f[i][j]爲從i開始的2^j個數中的最值，那麼終點爲i + 2^j -1，區間長度爲2^j 。
對於一個區間[l，r]，首先求出區間長度k=log2(r-l+1) 。
那麼區間最值由[l，l+2^k-1] 及 [ r-2^k+1,r] 保證一定可以覆蓋查詢的區間。

//f[i][0]爲自己。
//鬆弛區間
for(int j=1;j<=21;j++)
	for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
		f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
//詢問區間
ll l=read(),r=read();
ll k=log2(r-l+1);
cout<<max(f[l][k],f[r+1-(1<<k)][k])<<"\n";         

3.20
學習乘法逆元，假設有p=ki+r:
取模意義下： ki + r mod p == 0
乘上i^(-1) 以及r^(-1) ：i^(-1)= - k*r^(-1)
代換： i^(-1) = ( - (p/i) * (p%i)^(-1) ) %p
有： i^(-1) = (p-(p/i) *(p%i)^(-1) )%p
其中inv[1]=1

inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
	inv[i]=((p-p/i)*inv[p%i])%p;

3.21
學習盧卡斯定理，處理組合數取模的問題。
Lucas(n,m,p)=C(n%p,m%p,p)×Lucas( n/p,m/p,p)%p
其中Lucas(n,0,p)=1

ll Inv(ll x,ll p){return qp(x,p-2,p);}
ll Cal(ll n,ll m,ll p){
    if(m>n) return 0;
    ll ans=1;
    for(int i=1;i<=m;++i)ans=ans*Inv(i,p)%p*(n-i+1)%p;
    return ans%p;
}
ll Lucas(ll n,ll m,ll p){
    if(!m) return 1;
    return Cal(n%p,m%p,p)*Lucas(n/p,m/p,p)%p;
}

學習單調隊列，處理滑動窗口最值問題。
當q[head]+m<=i說明隊首元素已經跟不上滑動窗口。
當a[ q[tail] ]<a[i]說明隊尾元素比當前元素小，失去優先級。

for(int i=1;i<=n;i++){
	while(head<=tail&&q[head]+m<=i) ++head;
	while(head<=tail&&a[q[tail]]<a[i]) --tail;
	q[++tail]=i;
}