爲什麼要有原碼，反碼和補碼

相信大家看到這個標題都不屑一顧，因爲在任何一本計算機基礎知識書的第一章都有他們的解釋，但是在書上我們只能找到一些簡單的定義，沒次看過之後不久就忘了。最近論壇裏有人問起這些概念，看到很多人的回覆是以前看過現在忘了去看看某某書之類，很少有給出一個合理的解釋。於是本人就開始思考（雖然上帝會發笑，我還是要思考。），於是得出了以下的結論。
數值在計算機中表示形式爲機器數,計算機只能識別0和1,使用的是二進制,而在日常生活中人們使用的是十進制,正如亞里士多德早就指出的那樣,今天十進制的廣泛採用,只不過我們絕大多數人生來具有10個手指頭這個解剖學事實的結果.儘管在歷史上手指計數(5,10進制)的實踐要比二或三進制計數出現的晚.(摘自<<數學發展史>>有空大家可以看看哦~,很有意思的).爲了能方便的與二進制轉換,就使用了十六進制(2 4)和八進制(23).下面進入正題.
數值有正負之分,計算機就用一個數的最高位存放符號(0爲正,1爲負).這就是機器數的原碼了.假設機器能處理的位數爲8.即字長爲1byte,原碼能表示數值的範圍爲
(-127~-0 +0~127)共256個.
  有了數值的表示方法就可以對數進行算術運算.但是很快就發現用帶符號位的原碼進行乘除運算時結果正確,而在加減運算的時候就出現了問題,如下: 假設字長爲8bits
( 1 ) 10-  ( 1 )10 =  ( 1 )10 + ( -1 )10 =  ( 0 )10
(00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 顯然不正確.
  因爲在兩個整數的加法運算中是沒有問題的,於是就發現問題出現在帶符號位的負數身上,對除符號位外的其餘各位逐位取反就產生了反碼.反碼的取值空間和原碼相同且一一對應. 下面是反碼的減法運算:
 ( 1 )10 -  ( 1 ) 10=  ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10=  ( 0 )10
 (00000001) 反+ (11111110)反 =  (11111111)反 =  ( -0 )  有問題.
( 1 )10 -  ( 2)10 =  ( 1 )10 + ( -2 )10 =  ( -1 )10
(00000001) 反+ (11111101)反 =  (11111110)反 =  ( -1 ) 正確
問題出現在(+0)和(-0)上,在人們的計算概念中零是沒有正負之分的.(印度人首先將零作爲標記並放入運算之中,包含有零號的印度數學和十進制計數對人類文明的貢獻極大).
於是就引入了補碼概念. 負數的補碼就是對反碼加一,而正數不變,正數的原碼反碼補碼是一樣的.在補碼中用(-128)代替了(-0),所以補碼的表示範圍爲:
(-128~0~127)共256個.
注意:(-128)沒有相對應的原碼和反碼, (-128) = (10000000)  補碼的加減運算如下:
( 1 ) 10-  ( 1 ) 10=  ( 1 )10 + ( -1 )10 =  ( 0 )10
(00000001)補 + (11111111)補 =  (00000000)補 = ( 0 ) 正確
( 1 ) 10-  ( 2) 10=  ( 1 )10 + ( -2 )10 =  ( -1 )10
(00000001) 補+ (11111110) 補=  (11111111)補 = ( -1 )  正確
   所以補碼的設計目的是:
     ⑴使符號位能與有效值部分一起參加運算,從而簡化運算規則.
⑵使減法運算轉換爲加法運算,進一步簡化計算機中運算器的線路設計
  所有這些轉換都是在計算機的最底層進行的，而在我們使用的彙編、C等其他高級語言中使用的都是原碼。看了上面這些大家應該對原碼、反碼、補碼有了新的認識了吧！