一次搞懂紅黑樹的插入和刪除

紅黑樹

一、產生背景

1. BST（binary search tree 二叉搜索樹）樹的的平衡性問題：
   1. 如果插入BST中數據順序隨機，則平衡性較好。
   2. 如果插入BST中數據順序有序，則平衡性很差，是一條順序鏈。
2. 爲了改進BST的平衡性產生了紅黑樹。

二、基本概念

1. 紅黑樹（red-black tree，簡稱RB-tree）
2. 紅黑樹是自平衡的BST，是BST的擴充二叉樹。
3. 結點顏色：結點分爲“紅色”和“黑色”。
4. 根結點：根結點永遠是“黑色”；
5. 外部葉結點：葉結點都是擴充的外部結點（Nil），葉結點都是空的“黑色”結點。
6. 內部結點：“紅”結點的兩個子結點都是“黑”，不允許兩個連續的“紅”結點。
7. 深度特徵：任何結點到其子孫外部結點的每條簡單路徑都包含相同數目的“黑”結點（此處體現出了紅黑樹的平衡性）。
8. 紅黑樹的階
   1. 結點的階：rank，也稱“黑色高度”。
      1. 從該結點到葉結點的黑色結點數量
      2. 不包括該結點本身，包括葉結點。
      3. 葉結點的階是0。
   2. 根的階稱爲紅黑樹的階。

三、性質：

1. 紅黑樹是擴充二叉樹，葉結點都是擴充的空結點；
2. 階爲k的紅黑樹路徑長度最短爲k（全是黑），最長爲2k（一黑一紅）。
3. 階爲k的紅黑樹的內部節點：內部節點數量最少時，是一個全黑的完全滿二叉樹，個數爲2k-1。
4. 有n個內部結點的紅黑樹樹高最大爲2log2(n+1)+1 。

四、紅黑樹插入

1. 先使用BST插入算法（先找到結點所在位置，將新結點作爲葉結點連接上去。如果還不明白，就需要先去了解BST的插入刪除操作）；
2. 把新結點標爲紅色，如果父結點是黑色，則結束。（紅黑樹是通過黑色結點來控制樹高，維持深度特徵，所以新插入點標爲紅色，不會影響深度特徵。）
3. 否則，雙紅衝突，需要雙紅調整。
4. 雙紅衝突調整：

假設當前雙紅結點爲X，父結點爲A，祖父節點爲B，叔父結點爲C，只要分析C的顏色（因爲X和A都是紅色，所以X和A的子結點都是黑色，B也爲黑色，只有C結點的顏色不確定）。

（1）情況一：C是黑色。

重構：重新調整XAB結構（不會增加樹的階數。因爲C爲黑色，重構XAB後不會產生新的衝突，所以重構C）。

XAB共有4種結構，以下用具體數值“2/4/6”說明

（2）情況二：C是紅色。

因爲叔父爲紅色，重構仍具有雙紅衝突，所以需要換色。

換色：父結點和叔父結點換爲黑色，祖父結點換爲紅色。換色操作會往祖先的方向傳遞，所以還要繼續平衡檢查。（只有傳遞到根結點纔會增加樹的階數）。

五、紅黑樹刪除

1. 先調用BST的刪除算法。
   1. 如果待刪除結點的左右子結點有一個爲空，直接刪除，把子結點掛接上就行了。
   2. 如果左右子結點都不空，則和右子樹最小結點交換值（顏色不變），然後刪除。（顏色是維持樹的平衡，只與位置有關，與值無關，所以換值不換色）
2. 再檢查平衡。
   1. 如果被刪結點是紅色，則直接刪除，結束。否則被刪結點是黑色，則進行下列調整。
   2. 如果後繼結點（掛接上來的結點）是紅色，則將此結點標爲黑色，結束。否則，如果後繼結點是黑色（Nil葉結點就是黑色結點），則進行雙黑調整，此結點稱爲雙黑結點（因爲刪掉的結點爲黑色，後繼也爲黑色，此時後繼這條路徑上就少了一個黑色結點，必須調整）。
3. 雙黑調整：（分析兄弟和侄子的顏色）

假設雙黑結點爲X，其兄弟結點爲C，其父節點爲B，主要分析C的情況。

情況1：C爲黑色，且C子結點中有紅色（假設爲D），則D變爲黑色再重構BCD，結束。

情況2：C爲黑色，且C子結點都是黑色，則換色，C變爲紅色，B變爲黑色。如果B原來是紅色，則調整結束。如果父節點B原來爲黑色，則B變成了雙黑結點，還需要向上調整。

情況3：C爲紅色，則旋轉，C旋轉爲父節點，C繼承B的顏色，B變爲紅色。因爲C爲紅色，則C的子結點必定都是黑色，則X的新兄弟是黑色，按照情況1或2繼續調整。

六、紅黑樹性能及適用範圍

1. 性能：查找、插入、刪除的時間代價都是logN。
2. 適用範圍：紅黑樹適用於內存中小規模的數據索引。外存或內存中大規模數據索引適用B樹或B+樹。