1、問題提出
- 最近面試的過程中發現對基礎算法的考察挺多的，準備複習下；
- 翻看些博客與書籍，發現介紹的過於書面化不易理解；
- 因此，將自己的理解寫通俗一些，幫助他人與自己學習。
2、動態規劃原理
從揹包問題說起
一家商場搞活動，商家爲顧客發放能夠承重35磅的揹包，顧客在商場內選擇商品裝入揹包。假設商品有：
音響 3000美元 30磅
筆記本電腦 2000美元 20磅
吉他 1500美元 15磅
如何使得揹包所含物品總價值最高？
此時若採用貪心算法則將音響裝入揹包，此時揹包剩餘空間爲35-30=5磅，無法裝入其餘商品，揹包價值爲3000美元。
明顯，此時貪心算法並非最優解。因爲，將筆記本電腦與吉他裝入揹包，此時揹包承重正好爲35磅，且價值爲3500美元。
因此，貪心算法常用來求解近似最優解（局部最優解），並非全局最優解。其特點是思想簡單、求解速度快。
如何尋找全局最優解？
窮舉法！那是不可能的，首先太耗時間且易出錯，試想3件商品有8種選擇方案，4件商品有16中選擇方案，n件商品有
動態規劃，能夠很好地得出最優解。
動態規劃先解決子問題，再逐步解決大問題。對於揹包問題，先解決子揹包問題，再逐步解決原來的問題。
爲方便舉例子說明動態規劃的思想，假設：
揹包可裝4磅東西
吉他 1500美元 1磅
音響 3000美元 4磅
筆記本電腦 2000美元 3磅
可將動態規劃算法視作對網格的填充，揹包問題的網格如下：
在對每個單元格放入商品時，需要判斷揹包的價值是否會增大。
首先，吉他行，重1磅價值1500美元，每一列都能夠放下，得到下圖價值列表：
其次，音響行，此時可供選擇的商品包含該行與其上方的各行，即可選商品有吉他、音響。由於音響的重量爲4磅，則揹包容量至少需要4磅，因此容量爲1、2、3的揹包內商品不發生變化，商品仍爲1500美元的吉他。在揹包容量爲4時，因爲已經包含吉他商品佔有1磅容量，剩餘3磅不夠存放音響，因此比較吉他與音響的價值，將價值較低的吉他取出，將價值偏高的音響放入其中。更新揹包的價值列表，得到下圖：
筆記本電腦行，筆記本電腦重量爲3磅，價值2000美元，因此容量爲1、2的揹包內商品不發生變化。在揹包容量爲3磅時，已經含有重量1磅的吉他，無法放下重量3磅的筆記本電腦，因此將價值較低的吉他取出，將價值較高的筆記本電腦放入，得到下圖：
對於容量爲4磅的揹包，因爲容量爲1的揹包最大價值爲1500美元，容量爲3磅的揹包最大價值爲2000美元，且商品未重複，因此容量爲4磅的揹包價值最大爲3500美元，得到下圖：
此時，揹包的最大價值爲3500美元。
若此時新增價值爲2000美元，重量爲1磅的商品手機呢？
即下圖中的最優解：
此時，1磅商品可放入1、2、3、4磅容量的揹包，比較商品的價值。1磅手機的價值高於1磅吉他價值，因此1磅容量揹包最大價值爲2000美元。容量爲2磅的揹包中含有1磅的吉他，可再放入1磅商品，因此2磅容量的揹包最大價值爲1500+2000=3500美元。得到下圖：
容量爲3磅的揹包此時已經含有重3磅價值2000美元的筆記本電腦，低於2磅容量揹包的最大價值，因此將筆記本電腦替換爲吉他、手機。得到下圖：
對於最後一個單元格，當前最大價值爲3500美元，選擇手機則剩餘3磅容量，3磅容量的最大值且不含有手機則爲2000美元的筆記本，因此，4磅容量的最優解爲2000+2000=4000美元。即選擇筆記本電腦與手機，得到最終圖如下：
商場又新增價值爲1000美元重量爲1磅的MP3，此時的最優解爲？
結論爲：
4500美元1磅手機2000美元、1磅吉他1500美元、1磅MP3 1000美元，共2000+1500+1000=4500美元。