世界是3D的，顯示器是2D，將三維空間的物體變換到二維空間，再到最終屏幕上成像的過程，在圖形學中叫做3D渲染流水線。這個過程着實有點複雜了，讓我們慢慢來，本節我們先介紹一些基本的空間變換知識。
這部分知識點非常重要，不管以後做遊戲、仿真項目，還是其他圖形應用，物體的空間變換是必須要理解的，因爲很多實際的需求需要你自己分析，再去實現。就Unity來說吧，它已經把圖形學中的矩陣、向量運算封裝的相當易用了，但是如果你不明白它是怎麼玩的話，你自己的需求還是很難實現。很多人說Unity上手快，易學，確實，拖拖拽拽，加個腳本組件就能控制遊戲對象，但是要想玩得好，就必須要理解相關的圖形學背後的原理。雖然你不用真的把Unity封裝的那些高數實現一邊，但是你要懂，一個函數調用了它會發生什麼。
好了，進入今天的主題。
我們先以2D空間爲例，推導空間變換的矩陣表示，3D空間的推理是一樣的，照葫蘆畫瓢就行，後面我們給出3D空間的變換的矩陣表示。
什麼是矩陣
我們就把它看成一堆神奇的有規律的數即可，不用想的太複雜，它就是個工具。我們不是搞科研，那是數學家的事兒，我們只是應用矩陣這個工具，來解決圖形學的問題。我們沒必要對矩陣研究非常深入，我們只需要理解它如何在圖形學中的應用即可。就像你會開車，不會修車，但這並不會影響你漂移。
記得線性代數書上引入矩陣給了這麼個例子：
這個初中就學過了吧 – 二元一次方程。
這倆方程還能寫成：
對，這就是矩陣乘法。
一個2x2（兩行兩列）的矩陣 乘以 一個2x1的矩陣，得到一個2x1的矩陣。
可以看出：一個 n x n 的矩陣 和 一個 n x m 的矩陣相乘，等於一個 n x m 的矩陣。
問題1
那麼，請問：n x n 的矩陣 和 m x n 的矩陣相乘，等於多少。
答案：不能相乘。不相信你乘給我看看。
好了。現在已經學會了矩陣乘法了。你看，矩陣也不是很難嘛。
問題2
矩陣和向量（或者說點）相乘怎麼計算?
其實點和向量在表示上是沒有區別的(x,y)，矩陣是工具，它不會因爲你是點不是向量而改變運算規則，對於運算的結果，在於人爲的解讀。舉個例子，你炒菜加糖還是加鹽，鍋是不會拒絕的，但是對於炒出來的菜，你是要負責任的。我想，你應該懂我意思了吧。
這其實不算問題，上面的就是矩陣和向量相乘呀。
如果有人告訴你(x,y)是個向量，那就默認爲它是從原點到點(x,y)位置的一個向量。總不能上面把它豎着寫，你就不認識了吧。
那個T叫做轉置符號，就是橫着寫和豎着寫的區別。向量還是原來的向量，只是後來有錢了，走路都橫着走了，但還是原來那個向量。
現在我們知道，向量其實也可以看作是一種特殊的矩陣。
問題3
此時，你可能會問，爲什麼要轉置啊，不轉置不行嘛？
行！當然行。
在我看來，轉不轉置都一樣。都是形式而已。中國人這還用問？
不轉置的話，上面的矩陣，就得這麼寫：
1x2 的矩陣 乘以 2x2 的矩陣，得到 1x2 的矩陣。 沒毛病。
我們始終要記住，我們最終關心的是最後得到的操作數，怎麼解釋它是人乾的事，或者說你乾的事，和你橫着寫豎着寫有關係嘛？只要你遵循對應的運算法則就是咯。你不要問爲啥要有轉置，存在即合理，就像學校查衛生時，垃圾桶不準放垃圾一樣，誰知道那些人咋想的。
問題4
我想看看兩個“真”矩陣相乘。
其實，你仔細品下，你自己也能寫出來。
下面，我們來看看矩陣是如何表示變換的。
常見的變換就是：平移、旋轉、縮放。像其他錯切變換、對稱變換啥的，哎，怎麼說呢，你平時應該用到不到，用到了再學吧。道理都是相通的嘛，學會了基本的，其他的照葫蘆畫瓢唄。
平移變換
話說，空間中某個物體，算了，來張我的照片吧。
把我的照片從一個地方挪到另一個地方，需要幾步？咳咳，你先別管爲什麼移我的照片。
很簡單，數學上，就是把每個點都平移一下。
假設(x,y)爲圖像上某一點，移動另一個位置(x’,y’)，假設就位移了(a,b)吧，意思就是x方向位移了a，y方向位移了b。
那麼有：
x' = x + a
y' = y + b
好了。現在你看能不能寫成矩陣的形式。
是不是寫不出來啊~~~
先放一放啊，我們後面再說。
旋轉變換
現在把我的照片轉一轉。算了，換張你們喜歡看的吧。
現在我們規定逆時針旋轉爲正。你要規定順時針旋轉爲正。也行。前面都說了，關鍵看人（你）怎麼解釋。
我們現在取圖像上任一點A(x,y)，旋轉beta角度之後，到達A’
A點原本與X軸的夾角爲alpha，爲了方便，設: |OA|=|OA’|=r
則我們可以列出以下方程：
整理下：
現在，你把這個寫成矩陣乘法的形式看看。
是不是很簡單。
縮放變換
這個很簡單。
A(x,y) 放大 Sx 和 Sy倍，得到 A’(x’, y’)
x' = x * Sx
y' = y * Sy
寫成矩陣的形式：
齊次座標
好了。基本變換到此結束。
此時，你是不是發現，除了平移變換，旋轉和縮放變換都能寫成矩陣的形式。別人有的，它當然也想要啊。
所以，引入了齊次座標。
不知道誰起的這個名字，想象力豐富的我，打死我也想不出來它乾的事和它的名字有啥關係。
簡單說，就是給向量或者矩陣多加一個維度，方便將基本的變換（平移、旋轉、縮放）都可以用矩陣乘法的形式表示。
其實，我們知道，就是爲了照顧平移變換。
座標變換的齊次座標表示
那麼如何表示呢？
我們先將之前的三個變換用齊次座標表示的矩陣形式寫出來：
平移變換：
旋轉變換：
縮放變換:
大家快速驗算一下，應該都成立吧。
通過觀察可知，我們將點(x,y) 變成了齊次座標(x,y,1).
有時候給你一個(x,y),你知道它是點還是向量？因爲大家都知道，向量的代數表示和點是一樣的。
這個時候就是齊次座標的第二個妙用。
點(x,y) 寫成齊次座標是： (x,y,1)
向量(x,y) 寫成齊次座標是： (x,y,0)
爲啥？
我也不知道爲啥，我就覺得這麼幹是對的，而且很神奇。
咱們來驗算一下：點是有位置的，向量是沒有位置的，是吧。
那咱們用平移矩陣來驗算一下不就好了嘛。
數學是不是很奇妙。
那這個有啥用呢？
後面推導3D渲染流水線的投影變換階段好像用到，到時候再說吧。
其實，一個點或者向量的齊次表示不是唯一的，點(x,y)可以表示成(kx,ky,k)，向量(x,y)可以表示成(kx,ky,0). 這個不難理解吧。
三維空間變換
三維空間變換矩陣的推導和二維空間很相似，只不過多了一個維度嘛。
三維座標系，有2種，左手座標系和右手座標系，區別就在於Z軸的朝向不同。爲啥有2種。額，我想這個和人有左撇子和右撇子道理應該差不多吧。
那麼，我們用那種呢？前面已經說了，隨便你，只要你選定一種座標系，數學推導的過程是完全一樣的。我們這裏推導使用的是右手座標系，因爲我是右撇子。
平移矩陣，幾乎和二維變化一樣：
旋轉矩陣，二維空間繞的是原點，三維空間繞的是座標軸。
繞z軸旋轉某個角度的旋轉矩陣：
大家是不是有點眼熟？對嗎，這不就是二維旋轉矩陣加了一個維度嘛。大家想想，繞z軸旋轉，是不是在XY平面內？那是不是就是二維旋轉？這不就得了，那繞x軸和繞y軸旋轉，不就是一樣的道理嘛？
繞x軸旋轉某角度：
繞y軸旋轉某角度：
有個事情要注意下啊，我們這裏推導的變換矩陣和你們在其他地方看到的可能不一樣，彆着急。你轉置一下看看是不是就一樣的了。這是最後一遍嘮叨了啊，轉不轉置，你自己看着辦，你喜歡用哪種就用哪種，關鍵要用對場合。我的建議是，根據你以後學習的圖形編程API來決定使用那種風格的矩陣、座標系。比如說，OpenGL，使用的是右手座標系，使用的是向量右乘（矩陣x向量, 而不是向量x矩陣，前者是列向量，就是豎着寫的那個，後者是橫向量，即使橫着寫的那個）。所以，我就是按着這個推導的，並不是因爲我是右撇子。
本節介紹的基本變換，經過組合，可以形成複雜的變換。
怎麼組合？
多個變換矩陣相乘呀，注意，相乘的順序喲。這個現在你是感受不到的，只有你實戰的時候，你才能發現區別。
好了，本節的內容到此就結束了。
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