NOIP2018提高組 貨幣系統 揹包問題求方案數變形

題目描述
在網友的國度中共有 n 種不同面額的貨幣，第 i 種貨幣的面額爲 a[i]，你可以假設每一種貨幣都有無窮多張。

爲了方便，我們把貨幣種數爲 n、面額數組爲 a[1…n] 的貨幣系統記作 (n,a)。

在一個完善的貨幣系統中，每一個非負整數的金額 x 都應該可以被表示出，即對每一個非負整數 x，都存在 n 個非負整數 t[i] 滿足 a[i]× t[i] 的和爲 x。

然而，在網友的國度中，貨幣系統可能是不完善的，即可能存在金額 x 不能被該貨幣系統表示出。

例如在貨幣系統 n=3, a=[2,5,9] 中，金額 1,3 就無法被表示出來。

兩個貨幣系統 (n,a) 和 (m,b) 是等價的，當且僅當對於任意非負整數 x，它要麼均可以被兩個貨幣系統表出，要麼不能被其中任何一個表出。

現在網友們打算簡化一下貨幣系統。

他們希望找到一個貨幣系統 (m,b)，滿足 (m,b) 與原來的貨幣系統 (n,a) 等價，且 m 儘可能的小。

他們希望你來協助完成這個艱鉅的任務：找到最小的 m。

輸入格式
輸入文件的第一行包含一個整數 T，表示數據的組數。

接下來按照如下格式分別給出T組數據。

每組數據的第一行包含一個正整數 n。

接下來一行包含 n 個由空格隔開的正整數 a[i]。

輸出格式
輸出文件共有T行，對於每組數據，輸出一行一個正整數，表示所有與 (n,a) 等價的貨幣系統 (m,b) 中，最小的 m。

數據範圍
1≤n≤100,
1≤a[i]≤25000,
1≤T≤20
輸入樣例：
2
4
3 19 10 6
5
11 29 13 19 17
輸出樣例：
2
5
思路

有3個性質：

1. a1, s2, a3…an 一定能被表示出來
2. b1 b2, b3 … bn 一定不能被b序列裏面的數表示出來： 因爲如果可以表示出來， 那麼這個bi就可以刪除掉
3. b序列一定是從a序列裏面選的： 如果不是a序列裏面選的， 所以它一定可以由a序列表示出來， 而a和b是等價的， 所以它一定可以由b表示出來， 所以它和第二個性質一樣， 是可以刪除掉的

有了這3個性質， 我們可以得到結果是a序列中的不能被其他數表示出來的數， 就是我們要求得b序列

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110, M = 25010;

int a[N], f[M];
int n;

int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        cin >> n;
        memset(f, 0, sizeof f);
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            cin >> a[i];
        
        sort(a + 1, a + 1 + n);
        f[0] = 1;
        int ans = 0;
       int m = a[n];
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            if(f[a[i]] == 0)
                ans++;
            for(int j = a[i]; j <= m; j++)
                f[j] = f[j] + f[j - a[i]];
        }
        cout << ans <<endl;
    }
    return 0;
}