算法設計與分析筆記——頂點覆蓋問題VC的NP完全性證明

之前在算法設計與分析筆記——NP完全性中總結了證明NPC的思路，本文總結由三元可滿足性（3SAT）到頂點覆蓋（VC）的NP完全性證明。

定義

3SAT：合取範式中每個簡單析取式恰好有3個文字，則稱之爲3元合取範式。給一個3元合區範式F，問F是可滿足的嗎？

頂點覆蓋：任給一個無向圖G=<V, E>，再給一個非負整數K<=|V|，問G中有頂點數不超過K的頂點覆蓋嗎？

思路

1、顯然VC∈NP，因爲可以在O(n ^ 2)（n是頂點數）的多項式時間內檢查所有的邊，看是否包含了所有頂點。

2、把3SAT當成已知的NPC問題，接下來嘗試把3SAT規約到VC，若VC比3SAT還難，那必然也是NPC。

證明

取3SAT的一個實例F，向着VC問題變換。

使用構件設計法，構造兩組連接：

第一組，把每個文字與它的非連起來，稱爲變元構件，這組邊集記爲E1：

第二組，把每個括號中的三個文字如（xi, xj, xk）連起來，稱爲簡單析取構件，這組邊集記爲E2：

最後把這兩組中相同的文字連起來，這組邊集記爲E3。

例如由F = (x1 V x1 V x2) ∩ (!x1 V !x2 V !x2) ∩ (!x1 V x2 V x2) 構造出下面的圖G：

先說結論：設語句有n個文字，m個語句（括號），F是可滿足的當且僅當圖中有頂點數不超過K = n + 2m 的頂點覆蓋。

F中哪個頂點值爲1，就表示選取哪個頂點，這樣就建立了G到F的聯繫。

先證由3-SAT爲真對應K = n + 2m的頂點覆蓋：

1. xi和!xi中，必有一個爲1，上面的變元構件組成的邊集E1總能被覆蓋掉，此時選了n個頂點了。
   

2. 爲了覆蓋下面三角形的三條邊（邊集E2），最少得選兩個頂點。上一步中，上面選到的點連到三角形中的某個頂點，該頂點就不再考慮了，選剩下的兩個點，這樣能保證邊集E3也能同時完成覆蓋。這樣又選了2m個點，一共是n + 2m個完成了覆蓋。
   
   比如F的一個滿足賦值：x1 = 0， x2 = 1，對應的覆蓋如下圖所示：
   

再證由存在K = n + 2m的頂點覆蓋集Vc對應3-SAT爲真的取值：

1. 上面每對xi和!xi中必有一個屬於Vc，下面三角形中必有兩個頂點屬於Vc；
2. 三角形中有一個未被取到的頂點，爲了覆蓋掉它與上面頂點的連線，上面與之相連的頂點必被選中，也就表示這個點的值必爲1。三角形中有一個爲1則代表這個語句爲真，所有語句都爲真則代表F爲真。

二者等價關係得證，即F是可滿足的當且僅當圖中有頂點數不超過K = n + 2m 的頂點覆蓋。

最後，由3SAT到圖G共需要構造 2n + 3m 個頂點，n + 6m條邊，很容易在多項式時間內搞定。（別忘記證明規約能在多項式時間完成）

所以，3SAT <=_p VC，VC∈NPC。

參考資料

A Sample Proof of NP-Completeness