一、分治思想
1.分治思想：分治，顧明思意，就是分而治之，將一個大問題分解成小的子問題來解決，小的子問題解決了，大問題也就解決了。
2.分治與遞歸的區別：分治算法一般都用遞歸來實現的。分治是一種解決問題的處理思想，遞歸是一種編程技巧。
二、歸併排序
1.算法原理
先把數組從中間分成前後兩部分，然後對前後兩部分分別進行排序，再將排序好的兩部分合併到一起，這樣整個數組就有序了。這就是歸併排序的核心思想。如何用遞歸實現歸併排序呢？寫遞歸代碼的技巧就是分寫得出遞推公式，然後找到終止條件，最後將遞推公式翻譯成遞歸代碼。遞推公式怎麼寫？如下
遞推公式：merge_sort(p…r) = merge(merge_sort(p…q), merge_sort(q+1…r))
終止條件：p >= r 不用再繼續分解
2.代碼實現（參見下一條留言）
3.性能分析
1）算法穩定性：
歸併排序穩不穩定關鍵要看merge()函數，也就是兩個子數組合併成一個有序數組的那部分代碼。在合併的過程中，如果 A[p…q] 和 A[q+1…r] 之間有值相同的元素，那我們就可以像僞代碼中那樣，先把 A[p…q] 中的元素放入tmp數組，這樣 就保證了值相同的元素，在合併前後的先後順序不變。所以，歸併排序是一種穩定排序算法。
2）時間複雜度：分析歸併排序的時間複雜度就是分析遞歸代碼的時間複雜度
如何分析遞歸代碼的時間複雜度？
遞歸的適用場景是一個問題a可以分解爲多個子問題b、c，那求解問題a就可以分解爲求解問題b、c。問題b、c解決之後，我們再把b、c的結果合併成a的結果。若定義求解問題a的時間是T(a)，則求解問題b、c的時間分別是T(b)和T(c)，那就可以得到這樣的遞推公式：T(a) = T(b) + T(c) + K，其中K等於將兩個子問題b、c的結果合併成問題a的結果所消耗的時間。這裏有一個重要的結論：不僅遞歸求解的問題可以寫成遞推公式，遞歸代碼的時間複雜度也可以寫成遞推公式。套用這個公式，那麼歸併排序的時間複雜度就可以表示爲：
T(1) = C； n=1 時，只需要常量級的執行時間，所以表示爲 C。
T(n) = 2*T(n/2) + n； n>1，其中n就是merge()函數合併兩個子數組的的時間複雜度O(n)。
T(n) = 2*T(n/2) + n
= 2*(2*T(n/4) + n/2) + n = 4*T(n/4) + 2*n
= 4*(2*T(n/8) + n/4) + 2*n = 8*T(n/8) + 3*n
= 8*(2*T(n/16) + n/8) + 3*n = 16*T(n/16) + 4*n
......
= 2^k * T(n/2^k) + k * n
......
當T(n/2^k)=T(1) 時，也就是 n/2^k=1，我們得到k=log2n。將k帶入上面的公式就得到T(n)=Cn+nlog2n。如用大O表示法，T(n)就等於O(nlogn)。所以，歸併排序的是複雜度時間複雜度就是O(nlogn)。
3）空間複雜度：歸併排序算法不是原地排序算法，空間複雜度是O(n)
爲什麼？因爲歸併排序的合併函數，在合併兩個數組爲一個有序數組時，需要藉助額外的存儲空間。爲什麼空間複雜度是O(n)而不是O(nlogn)呢？如果我們按照分析遞歸的時間複雜度的方法，通過遞推公式來求解，那整個歸併過程需要的空間複雜度就是O(nlogn)，但這種分析思路是有問題的！因爲，在實際上，遞歸代碼的空間複雜度並不是像時間複雜度那樣累加，而是這樣的過程，即在每次合併過程中都需要申請額外的內存空間，但是合併完成後，臨時開闢的內存空間就被釋放掉了，在任意時刻，CPU只會有一個函數在執行，也就只會有一個臨時的內存空間在使用。臨時空間再大也不會超過n個數據的大小，所以空間複雜度是O(n)。
三、快速排序
1.算法原理
快排的思想是這樣的：如果要排序數組中下標從p到r之間的一組數據，我們選擇p到r之間的任意一個數據作爲pivot（分區點）。然後遍歷p到r之間的數據，將小於pivot的放到左邊，將大於pivot的放到右邊，將povit放到中間。經過這一步之後，數組p到r之間的數據就分成了3部分，前面p到q-1之間都是小於povit的，中間是povit，後面的q+1到r之間是大於povit的。根據分治、遞歸的處理思想，我們可以用遞歸排序下標從p到q-1之間的數據和下標從q+1到r之間的數據，直到區間縮小爲1，就說明所有的數據都有序了。
遞推公式：quick_sort(p…r) = quick_sort(p…q-1) + quick_sort(q+1, r)
終止條件：p >= r
2.代碼實現（參見下一條留言）
3.性能分析
1）算法穩定性：
因爲分區過程中涉及交換操作，如果數組中有兩個8，其中一個是pivot，經過分區處理後，後面的8就有可能放到了另一個8的前面，先後順序就顛倒了，所以快速排序是不穩定的排序算法。比如數組[1,2,3,9,8,11,8]，取後面的8作爲pivot，那麼分區後就會將後面的8與9進行交換。
2）時間複雜度：最好、最壞、平均情況
快排也是用遞歸實現的，所以時間複雜度也可以用遞推公式表示。
如果每次分區操作都能正好把數組分成大小接近相等的兩個小區間，那快排的時間複雜度遞推求解公式跟歸併的相同。
T(1) = C； n=1 時，只需要常量級的執行時間，所以表示爲 C。
T(n) = 2*T(n/2) + n； n>1
所以，快排的時間複雜度也是O(nlogn)。
如果數組中的元素原來已經有序了，比如1，3，5，6，8，若每次選擇最後一個元素作爲pivot，那每次分區得到的兩個區間都是不均等的，需要進行大約n次的分區，才能完成整個快排過程，而每次分區我們平均要掃描大約n/2個元素，這種情況下，快排的時間複雜度就是O(n^2)。
前面兩種情況，一個是分區及其均衡，一個是分區極不均衡，它們分別對應了快排的最好情況時間複雜度和最壞情況時間複雜度。那快排的平均時間複雜度是多少呢？T(n)大部分情況下是O(nlogn)，只有在極端情況下才是退化到O(n^2)，而且我們也有很多方法將這個概率降低。
3）空間複雜度：快排是一種原地排序算法，空間複雜度是O(1)
四、歸併排序與快速排序的區別
歸併和快排用的都是分治思想，遞推公式和遞歸代碼也非常相似，那它們的區別在哪裏呢？
1.歸併排序，是先遞歸調用，再進行合併，合併的時候進行數據的交換。所以它是自下而上的排序方式。何爲自下而上？就是先解決子問題，再解決父問題。
2.快速排序，是先分區，在遞歸調用，分區的時候進行數據的交換。所以它是自上而下的排序方式。何爲自上而下？就是先解決父問題，再解決子問題。
五、思考
1.O(n)時間複雜度內求無序數組中第K大元素，比如4，2，5，12，3這樣一組數據，第3大元素是4。
我們選擇數組區間A[0...n-1]的最後一個元素作爲pivot，對數組A[0...n-1]進行原地分區，這樣數組就分成了3部分，A[0...p-1]、A[p]、A[p+1...n-1]。
如果如果p+1=K，那A[p]就是要求解的元素；如果K>p+1，說明第K大元素出現在A[p+1...n-1]區間，我們按照上面的思路遞歸地在A[p+1...n-1]這個區間查找。同理，如果K<p+1，那我們就在A[0...p-1]區間查找。
時間複雜度分析？
第一次分區查找，我們需要對大小爲n的數組進行分區操作，需要遍歷n個元素。第二次分區查找，我們需要對大小爲n/2的數組執行分區操作，需要遍歷n/2個元素。依次類推，分區遍歷元素的個數分別爲n、n/2、n/4、n/8、n/16......直到區間縮小爲1。如果把每次分區遍歷的元素個數累加起來，就是等比數列求和，結果爲2n-1。所以，上述解決問題的思路爲O(n)。
2.有10個訪問日誌文件，每個日誌文件大小約爲300MB，每個文件裏的日誌都是按照時間戳從小到大排序的。現在需要將這10個較小的日誌文件合併爲1個日誌文件，合併之後的日誌仍然按照時間戳從小到大排列。如果處理上述任務的機器內存只有1GB，你有什麼好的解決思路能快速地將這10個日誌文件合併？