【圖論】C_mj_一筆畫問題（歐拉x路 / dfs）

一、Problem

如果一個圖存在一筆畫，則一筆畫的路徑叫做歐拉路，如果最後又回到起點，那這個路徑叫做歐拉回路。

根據一筆畫的兩個定理，如果尋找歐拉回路，對任意一個點執行深度優先遍歷；找歐拉路，則對一個奇點執行 dfs，時間複雜度爲 $O(m+n)$，m爲邊數，n是點數。

Input

第一行 n，m，有 n 個點，m 條邊，以下 m 行描述每條邊連接的兩點。

Output

歐拉路或歐拉回路, 輸出一條路徑即可。

輸入
5 5
1 2
2 3
3 4
4 5
5 1

輸出
1 5 4 3 2 1

二、Solution

方法一：dfs

• 歐拉路：圖是連通的，有且只有 2 個奇度頂點。
• 歐拉回路：圖是連通的，有 0 個奇度頂點。
• 如果奇度頂點不是 0/2 那麼無解…

😂 找到奇度頂點 s：

• 如果沒有奇度頂點，那麼隨便一個頂點開始都可。
• 否則， 從 s 觸發，遍歷整張圖，遍歷的時候記得把邊抹掉，不然會重複遍歷。

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{
    static class Solution {
        int[][] mp;
        int[] ph, in;
        int n, m, tot;
        void dfs(int s) {
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                if (mp[s][i] == 1) {
                    mp[s][i] = mp[i][s] = 0;
                    dfs(i);
                }
            }
            ph[tot++] = s;
        }
        void init() {
            Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
            n = sc.nextInt(); m = sc.nextInt();
            ph = new int[n+5];
            in = new int[n+1];
            mp = new int[n+1][n+1];
            for (int i = 0; i < m; i++) {
                int a = sc.nextInt(), b = sc.nextInt();
                mp[a][b] = mp[b][a] = 1;
                in[a]++; in[b]++;
            }
            int s = 1;
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                if (in[i] % 2 == 1) {
                    s = i;
                    break;
                }
            }
            dfs(s);
            for (int i = 0; i <= n; i++) {
                System.out.print(ph[i] + " ");
            }
        }
    }
    public static void main(String[] args) throws IOException {  
        Solution s = new Solution();
        s.init();
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(E+V)$，
• 空間複雜度：$O(E+V)$，

---

稍微變形：https://blog.csdn.net/C20181220_xiang_m_y/article/details/52776779