P4619 [SDOI2018]舊試題題解

簡要題意：

求

$\sum_{i=1}^A \sum_{j=1}^B \sum_{k=1}^C d(ijk)$

其中 $d(x)$ 表示 $x$ 的因數個數。

一言不合就推式子！

$\sum_{i=1}^A \sum_{j=1}^B \sum_{k=1}^C d(ijk)$

$= \sum_{i=1}^A \sum_{j=1}^B \sum_{k=1}^C \sum_{x=1}^i \sum_{y=1}^j \sum_{z=1}^k [\gcd(i,j)==1] [\gcd(i,k)==1] [\gcd(j,k)==1]$

$= \sum_{x=1}^A \sum_{y=1}^B \sum_{z=1}^C [\gcd(x,y)==1] [\gcd(x,z)==1] [\gcd(y,z)==1] \lfloor \frac{A}{x} \rfloor \lfloor \frac{B}{y} \rfloor \lfloor \frac{C}{z} \rfloor$

$= \sum_{i=1}^A \sum_{j=1}^B \sum_{k=1}^C [\gcd(i,j)==1] [\gcd(i,k)==1] [\gcd(j,k)==1] \lfloor \frac{A}{i} \rfloor \lfloor \frac{B}{j} \rfloor \lfloor \frac{C}{k} \rfloor$

$= \sum_{i=1}^A \sum_{j=1}^B \sum_{k=1}^C \lfloor \frac{A}{i} \rfloor \lfloor \frac{B}{j} \rfloor \lfloor \frac{C}{k} \rfloor \sum_{u| \gcd(i,j)} \mu_u \sum_{v| \gcd(i,k)} \mu_v \sum_{w|\gcd(j,k)} \mu_k$

$= \sum_{u=1}^{\min(A,B)} \mu_u \sum_{v=1}^{\min(A,C)} \mu_v \sum_{w=1}^{\min(B,C)} \mu_w \sum_{\gcd(u,v)|i}^A \lfloor \frac{A}{i} \rfloor \sum_{\gcd(u,w)|j}^B \lfloor \frac{B}{j} \rfloor \sum_{\gcd(v,w)|k}^C \lfloor \frac{C}{k} \rfloor$

算法一

我會暴力！

時間複雜度： $O(n^3)$ . 實際得分： $0pt$ .

~~恭喜你，一長串式子白推了~~

算法二

推式子基本結束了，你會發現，式子長得可怕，這並不是我們 $A$ 題的前兆！比方說二元弱化版本人也寫了題解，可是弱化版推的最後式子很簡單啊！

所以首先我們分析，如果就這個式子枚舉， $O(n^3)$ 是跑不掉的。因爲我們沒有消掉一個 $\sum$ ，反而按照 所謂的莫比烏斯反演套路 增加了 $\sum$ .

令

$f_{y,x} = \sum_{x|i}^y \lfloor \frac{y}{i} \rfloor$

將原式後面的一長串簡化：
$\sum_{u=1}^{\min(A,B)} \mu_u \sum_{v=1}^{\min(A,C)} \mu_v \sum_{w=1}^{\min(B,C)} \mu_w \sum_{\gcd(u,v)|i}^A \lfloor \frac{A}{i} \rfloor \sum_{\gcd(u,w)|j}^B \lfloor \frac{B}{j} \rfloor \sum_{\gcd(v,w)|k}^C \lfloor \frac{C}{k} \rfloor$

$= \sum_{u=1}^{\min(A,B)} \mu_u \sum_{v=1}^{\min(A,C)} \mu_v \sum_{w=1}^{\min(B,C)} \mu_w f_A(\gcd(u,v)) f_B(\gcd(u,w)) f_C(\gcd(v,w))$

這只是看起來簡單了，實質上， $O(n \log n)$ 預處理 $f$ 可以辦到，但是就當前式子，大力枚舉還是 $O(n^3)$ ，沒有一點部分分可拿。這是令人痛苦的地方。

時間複雜度： $O(n^3)$ . 實際得分： $0pt$ .

算法三

越接近答案的推導，就顯得越困難。現在我們到了黎明前那個最黑暗的時刻。

我們考慮，什麼時候 $u,v,w$ 對答案沒有貢獻。

顯然， $\mu_u = 0$ 或 $\mu_v=0$ 或 $\mu_w=0$ 都會沒有貢獻。

而 $f_y(x) = 0$ ，就需要 $\gcd(u,v)>A$ 或 $\gcd(u,w)>B$ 或 $\gcd(v,w)>C$ .

似乎情況還蠻多的？

所以我們考慮感性一點，枚舉 $\gcd=g$ ，然後 $u=ig , v=jg$ 合法 當且僅當 $\gcd(i,j)=1 , \mu_u \times \mu_v \not = 0 , \operatorname{lcm}{u,v}=ijg \leq \max(a,b,c)$ .

對於合法的 $u,v$ 連邊，我們就得到了一張圖。

那麼合法的情況是怎樣的？即 $u \rightarrow v , u \rightarrow w , v \rightarrow w$ 在原圖中同時存在。

即需要求出原圖的 三元環個數，可以參考不常用的黑科技——「三元環」，在 $O(n \log n)$ 的時間求解。

那麼， $n = ?$ ，也就是這個圖的邊數會不會很大呢？

一位叫做 $\text{shadowice1984}$ 的人告訴我們邊數最多隻有 $760741$ 條，所以就放心吧！

對於後面的一堆東西用 整除分塊 可以實現。

對於 $n=7.5 \times 10^5$ ，用 $n \sqrt{n}$ 整除分塊 需要格外小心，常數很危險，需要反覆卡常才能過 $\cdots \cdots$

本人在卡常 $15$ 次後 $\text{AC}$ 了本題。。 ~~把幾乎同樣的代碼不斷提交~~

時間複雜度： $O(n \sqrt {n} \times T)$ .

其中 $n \leq 7.5 \times 10^5$ .

期望得分： $100pts$ . 實際得分： $70$ ~ $100pts$ .（取決於常數）

~~如果你交我代碼發現A不了，只能說你人品差了~~

// i=-~i 是 i++ 的優化
// 所有 min , max , gcd 手寫卡常
// register 寄存器用來優化
// 一段 GCC 優化模板
#pragma GCC optimize(1)
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize(5000)
#pragma GCC optimize(100000000)
#pragma GCC optimize("Ofast")
#pragma GCC optimize("inline")
#pragma GCC optimize("-fgcse")
#pragma GCC optimize("-fgcse-lm")
#pragma GCC optimize("-fipa-sra")
#pragma GCC optimize("-ftree-pre")
#pragma GCC optimize("-ftree-vrp")
#pragma GCC optimize("-fpeephole2")
#pragma GCC optimize("-ffast-math")
#pragma GCC optimize("-fsched-spec")
#pragma GCC optimize("unroll-loops")
#pragma GCC optimize("-falign-jumps")
#pragma GCC optimize("-falign-loops")
#pragma GCC optimize("-falign-labels")
#pragma GCC optimize("-fdevirtualize")
#pragma GCC optimize("-fcaller-saves")
#pragma GCC optimize("-fcrossjumping")
#pragma GCC optimize("-fthread-jumps")
#pragma GCC optimize("-funroll-loops")
#pragma GCC optimize("-fwhole-program")
#pragma GCC optimize("-freorder-blocks")
#pragma GCC optimize("-fschedule-insns")
#pragma GCC optimize("inline-functions")
#pragma GCC optimize("-ftree-tail-merge")
#pragma GCC optimize("-fschedule-insns2")
#pragma GCC optimize("-fstrict-aliasing")
#pragma GCC optimize("-fstrict-overflow")
#pragma GCC optimize("-falign-functions")
#pragma GCC optimize("-fcse-skip-blocks")
#pragma GCC optimize("-fcse-follow-jumps")
#pragma GCC optimize("-fsched-interblock")
#pragma GCC optimize("-fpartial-inlining")
#pragma GCC optimize("no-stack-protector")
#pragma GCC optimize("-freorder-functions")
#pragma GCC optimize("-findirect-inlining")
#pragma GCC optimize("-fhoist-adjacent-loads")
#pragma GCC optimize("-frerun-cse-after-loop")
#pragma GCC optimize("inline-small-functions")
#pragma GCC optimize("-finline-small-functions")
#pragma GCC optimize("-ftree-switch-conversion")
#pragma GCC optimize("-foptimize-sibling-calls")
#pragma GCC optimize("-fexpensive-optimizations")
#pragma GCC optimize("-funsafe-loop-optimizations")
#pragma GCC optimize("inline-functions-called-once")
#pragma GCC optimize("-fdelete-null-pointer-checks")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll N=8e5+5,MOD=1e9+7;

inline ll read(){char ch=getchar(); ll f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	ll x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

ll a,b,c,T,cnt,tot,ans;
ll lst[N],d[N],p[N],mu[N],ok[N],ord[N],deg[N],f[N],from[N],to[N],lcm[N],mrk[N];
vector<ll>v[N],w[N];
inline ll min(ll a,ll b){return a<b?a:b;}
inline ll max(ll a,ll b){return a>b?a:b;}
inline ll gcd(ll a,ll b){return (!b)?a:gcd(b,a%b);}

int main() {
    p[1]=mu[1]=1;
	for(register int i=2;i<N;i=-~i) {
        if(!p[i]) lst[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(register int j=1;j<=cnt;j=-~j){
            if(i*lst[j]>=N) break;
            p[i*lst[j]]=1;
            if(i%lst[j]==0) {mu[i*lst[j]]=0;break;}
            mu[i*lst[j]]=-mu[i];
        }
    } for(register int i=1;i<N;i=-~i)
        if(mu[i]) ok[++tot]=i,ord[i]=tot;
    for(register int i=1;i<N;i=-~i) {
        for(register int j=1;i*j<N;j=-~j) d[i*j]++;
        f[i]=(f[i-1]+d[i])%MOD;
    } T=read();
    while(T--) {
        memset(deg,0,sizeof(deg));
        memset(v,0,sizeof(v));
        memset(w,0,sizeof(w));
        a=read(),b=read(),c=read();
        ll mn=min(min(a,b),c),mx=max(max(a,b),c);
        ll e=ans=0;
        for(register int i=1;i<=tot;i=-~i){
            if(ok[i]>mx) break;
            for(register int j=1;j<=tot;j=-~j){
                if(ok[i]*ok[j]>mx) break;
                if(!mu[ok[i]*ok[j]]) continue;
                for(register int k=j+1;k<=tot;k=-~k){
                    if(ok[i]*ok[j]*ok[k]>mx) break;
                    if(mu[ok[i]*ok[k]]==0||gcd(ok[j],ok[k])>1) continue;
                    from[++e]=ord[ok[i]*ok[j]],to[e]=ord[ok[i]*ok[k]],lcm[e]=ok[i]*ok[j]*ok[k];
                    deg[from[e]]++,deg[to[e]]++;
                } 
            }
        }
        for(register int i=1;i<=tot;i=-~i) {
            if(ok[i]>mn) break;
            ans+=mu[ok[i]]*mu[ok[i]]*mu[ok[i]]*f[a/ok[i]]*f[b/ok[i]]*f[c/ok[i]];
        }
        for(register int i=1;i<=e;i=-~i) {
            v[from[i]].push_back(to[i]),w[from[i]].push_back(lcm[i]);
            v[to[i]].push_back(from[i]),w[to[i]].push_back(lcm[i]);
        }
        for(register int i=1;i<=tot;i=-~i) {
            if(ok[i]>min(a,b)) break;
            for(register int j=0;j<v[i].size();j=-~j) {
                ll x=ok[i],y=ok[v[i][j]],z=w[i][j];
                ans=(ans+mu[x]*mu[y]*mu[y]*f[a/z]*f[b/z]*f[c/y]);
                ans=(ans+mu[x]*mu[x]*mu[y]*f[a/x]*f[b/z]*f[c/z]);
                ans=(ans+mu[x]*mu[x]*mu[y]*f[a/z]*f[b/x]*f[c/z]);
            }
        } ans=(ans+MOD)%MOD;
        memset(v,0,sizeof(v));
        memset(w,0,sizeof(w));
        for(register int i=1;i<=e;i=-~i) {
            if(deg[from[i]]>=deg[to[i]]) v[from[i]].push_back(to[i]),w[from[i]].push_back(lcm[i]);
            else v[to[i]].push_back(from[i]),w[to[i]].push_back(lcm[i]);
        }
        for(register int i=1;i<=tot;i=-~i) {
            if(ok[i]>mx) break;
            for(register int j=0;j<v[i].size();j=-~j) mrk[v[i][j]]=w[i][j];
            for(register int j=0;j<v[i].size();j=-~j){
                ll x=v[i][j];
                for(register int k=0;k<v[x].size();k=-~k){
                    ll y=v[x][k],p=mrk[y],q=w[i][j],r=w[x][k];
                    if(!mrk[y]) continue;
                    ll st1,st2,st3,st4,st5,st6;
                    st1=f[a/p]*f[b/q]*f[c/r];
                    st2=f[a/p]*f[b/r]*f[c/q];
                    st3=f[a/q]*f[b/p]*f[c/r];
                    st4=f[a/q]*f[b/r]*f[c/p];
                    st5=f[a/r]*f[b/p]*f[c/q];
                    st6=f[a/r]*f[b/q]*f[c/p];
                    ans=(ans+mu[ok[i]]*mu[ok[x]]*mu[ok[y]]*(st1+st2+st3+st4+st5+st6)+MOD)%MOD;
                }
            } for(register int j=0;j<v[i].size();j=-~j) mrk[v[i][j]]=0;
        }
        printf("%lld\n",(ans+MOD)%MOD);
    }
    return 0;
}

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