T4:【NOIP2008TG】傳紙條(message)（二維DP）

前言

這一道題不太難，怎麼表現呢？
告訴你吧，萌新寫的代碼長度25行。

直入主題

題目傳送門

首先呢，我在這裏先不直接講最強大的二維DP，
先從四維開始吧：

基礎：

四維DP，時間、空間複雜度都爲 O(n⁴)

用f[i][j][x][y]表示
第一張紙條傳到(i,j),
第二張紙條傳到(x,y)
它們累計下來的好心程度和。

對於每一步呢，分別有四種情況：

1.第一張紙條向下傳，第二張紙條向下傳；
2.第一張紙條向下傳，第二張紙條向右傳；
3.第一張紙條向右傳，第二張紙條向下傳；
4.第一張紙條向右傳，第二張紙條向右傳；
F[i][j]=max(F[i-1][j][x-1][y] ,F[i-1][j][x][y-1] ,F[i][j-1][x-1][y] ,F[i][j-1][x][y-1])+a[i][j]+a[x][y];¹

那麼如何判重呢？
其實可以不判，只要你想辦法使它沒有重複的情況就行了，
So for循環時我們限制y<x。

升級

三維DP，時間複雜度O（n³)；空間複雜度多一倍；

我們可以發現每一張紙條每一步
要麼只走右邊，
要麼只走下邊，²
所以i+j=x+y;於是我們DP每一步的情況 ³，
用i表示第一張紙往下走了多少步，因爲枚舉了k=i+j（就是走了多少步）所以可以用k-i來代替j；
第二張紙也同樣可以用k和x表示出來座標。因爲枚舉的是步數⁴所以呢，空間纔會多一倍。

於是 F[k][i][x]=max(F[k-1][i][x]+F[k-1][i][x-1]+F[k-1][i-1][x]+F[k-1][i-1][x-1])；

Boss進階：

最強大的二維DP，複雜度和三維一樣，但空間少了很多

如果你對揹包問題掌握得十分嫺熟，你就能用揹包思想來降維。怎麼做到的呢？

我們從三維DP的狀態轉移式中發現它只和上一步有關係，
並只牽扯到x，x-1，沒用到x+1；
所以我們從後向前推，這樣你現在用的二維數組就是上一步的，對x進行覆蓋也不會產生後效性。

Readers:這又如何去重呢？

Reply:其實和四維一樣，你只需要保證 x > i 就行啦，因爲這樣就不會有重複情況出現，自然也就不需要去重啦。

光陰似箭，T4的講解就先告一段落了，師兄們，告辭！

萌新求贊!

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1. 全部反向是因爲要求上一個 ↩︎

2. 在這兒我們把第二張紙條也從左上往右下移動(反向) ↩︎

3. 用k表示 ↩︎

4. n+m-2 ↩︎