【計算機系統】位運算與邏輯運算

計算機系統的位運算與邏輯運算

一、位

1、定義

二進制數字系統中數據存儲的最小單位，即每個二進制數0或1就稱爲位。位也叫比特(bit)，8個bit組成一個字節(byte)，每個字節表示程序中的某些文本字符。字長(word size)表徵了CPU一次能並行處理的最多二進制位數，例如32位機一次最多能處理32個bit組成的單元。

2、表示方法

位的本質是二進制數。由於一個byte由8位構成，即00000000$_{(2)}$ ~ 11111111$_{(2)}$，這種表示方法很冗長。把8位二進制數轉成十進制爲0$_{(10)}$ ~ 255$_{(10)}$，雖然表示起來方便，但是二-十進制轉換很麻煩。因此引入了十六進制表示法，原因在於十六進制表示8位二進制數很簡潔而且二-十六進制可以快速轉換。以0x或0X打頭的數字常量一般就是十六進制數。

3、位向量

固定長度爲w的由二進制代數組成的行向量稱爲位向量。位向量的邏輯運算是元素級的邏輯運算，例如$a$=[$a_{(w-1)}$,$a_{(w-2)}$,……,$a_1$,$a_0$]，$b$=[$b_{(w-1)}$,$b_{(w-2)}$,……,$b_1$,$b_0$]，那麼這兩個位向量的邏輯與運算就是$a$&$b$=[$a_{(w-1)}$&$b_{(w-1)}$,$a_{(w-2)}$&$b_{(w-2)}$,……,$a_0$&$b_0$]，注意此時的二進制代數視爲表示邏輯真假的布爾代數。
任何“整型”數據類型都可以使用位運算。對於十六進制表示的字節進行位運算時，最好的方法是將十六進制轉二進制，位運算後再轉回十六進制，例如對char類型數據進行位運算。

4、位向量的應用

（1）表示有限集合

用位向量$a$=[$a_{(w-1)}$,$a_{(w-2)}$,……,$a_1$,$a_0$]編碼任何子集$A$⊆{0,1,2……,$w-1$}，當且僅當$i$⊆$A$時$a_i$ = 1，於是用與或非就可以分別進行有限集合的交併補集運算

（2）位向量掩碼(BitMask)

通過位向量運算，有選擇地使能或屏蔽某些信號（或權限等）的位向量，稱爲位向量掩碼。
例如，給出$x$=0x87654321，要求給出一個BitMask使其將除了$x$的最低有效字節外其餘位都取補，而最低有效字節不變。於是我們可以給出$a$=~0xFF，然後將$x$與$a$異或運算即可實現目標。下面要總結幾點：
①1^x 可以實現對x取反，0^x可以實現保持x不變
②上例位向量還可以是$a$ = 0xFFFFFF00，然後直接進行$x$^$a$，但這樣的缺點是代碼的可移植性較差

5、移位運算

注意：
①位向量最高位爲0時，算術右移與邏輯右移等價，因爲把最高位視爲符號位的話，有符號的正數和無符號數等價
②循環移位：若對於一個w位位向量，進行k≥w的移位運算，則此時位移量爲k mod w，類似於循環隊列的索引結構。但這種行爲沒有保證，編程時應儘可能保證k＜w
③移位的優先級較低，移位運算時要注意運算順序

二、布爾代數

1、定義

將邏輯真定義爲二進制數1，邏輯假定義爲二進制數0，這種表示邏輯運算的二進制代數稱爲布爾代數。利用布爾代數可以很好地研究邏輯推理。

2、邏輯運算

3、位運算與邏輯運算的關係

可以看出位級邏輯運算是元素級的布爾邏輯運算，即每個位向量元素進行0-1邏輯運算；而命題邏輯運算是把整個字節看成一個整體，將所有的非0的參數看成邏輯真(1)，0看成邏輯假(0)，所以就命題本身而言可以不爲布爾代數，執行邏輯運算時是把整體看成一個布爾代數，再進行相應的邏輯運算。

三、小結

本篇博客是對CSAPP這部分內容的一個總結和理解，參考資料也是這本書，作爲小白第一次寫博客，希望各位指出不足，相互交流