機器學習--基礎--線性迴歸原理與機器學習一般性建模思路

線性迴歸

原理

線性迴歸是一個很基礎很簡單的問題。如下所示

特徵1	特徵2	特徵3	…	標籤值
$x_1^0$	$x_2^0$	$x_3^0$	…	$y_0$
$x_1^1$	$x_2^1$	$x_3^1$	…	$y_1$
…	…	…	…	…

這是一組特徵值序列以及他們的標籤。
線性迴歸實際上是認爲這些特徵值同標籤存在着線性相關的關係，關係可以描述爲:
$h_{\theta}(X)=\theta_0+\theta_1x_1+...$
這裏的$h(\theta)$就是$y$的預測值；也就是說線性模型是指將這些特徵$x_1,x_2$等等代入到上面的一個線性函數裏面得到對$y$的預測，那麼在線性迴歸這個任務裏，剩下的就是如何求$\theta$這些值了。如果預測的y是連續的，這稱之爲線性迴歸，如果y是離散的，稱之爲線性分類。
在線性迴歸中，現在最爲主要的問題是如何求得這樣的一組$\theta$使得上述關係同真實的標籤值

最爲簡單的辦法是構建一個衡量模型效果的函數
$L(\theta)=\sum_{i=1}^{n}(h_{\theta}(x_1^i,x_2^i,...)-y_i)^2$
這個函數就將我們上面的問題轉化爲數學表達式，即找到一組$\theta$使得在此條件下計算的預測標籤同真實的標籤差距最小，這個函數被稱之爲損失函數。

爲了便於進行推演，上面的函數可以用矩陣的形式進行表達
$L = \frac{1}{2}(X\theta-Y)^{T}(X\theta -Y)$

假設其他條件都不做限制，我們知道求取$L_{min}$的一般性方法是對$\theta$求導，使導數爲0，然後將導數函數變爲方程，最終求出$\theta$，對上面的矩陣表現形式進行求導並另導數爲0，可得
$\theta = (X^TX)^{-1}X^TY$
一般而言，對於簡單的函數，到這一步就可直接求出$\theta$，實際應用中常常使用的是梯度下降法來求取獲得適宜的$\theta$,這裏的內容可以參考鏈接，不做贅述。

機器學習最一般性的思路

從上面的步驟可以看出，機器學習的一般思路是：

1. 構建特徵值與標籤之間的關係模型，這種關係模型中有大量的未知數需要求解，即定義模型
2. 在上述關係模型的基礎上，構建起求解這些未知數的模型，即定義模型的優化問題
3. 求解優化問題，獲得滿足需求的這些未知數的解，從而代入關係模型，獲得優化後的模型，即完成優化過程。

其他的機器學習方式，包括深度學習方式都是基於上述最一般的3個步驟進行建模進行處理，所不同的是這三個步驟的具體形制不同。