省選模擬96

A. 多邊形

　　容易發現當$k>3$時無解。

　　然後容易證明當$k=3$時，只有$m=3$纔是有解的。

　　然後直接做不好做，考慮欽定然後容斥出合法方案。

　　對於$k=3$，枚舉一個點，然後計算另一個的方案數。

　　其他情況類似，欽定滿足條件的角，然後容斥。

　　然後對於每一個$O(n)$的式子用組合恆等式大力化簡就可以做到$O(1)$了。

 

B. 仙人掌

　　考慮每個點周圍的點的權值種類不會超過根號種。

　　所以考慮維護每個點周圍的點的權值，首先對於兒子的權值用數據結構維護，每次暴力對每個權值重構。

　　對於父親的貢獻，可以簡單得到父親當前的權值，然後暴力修改維護即可。

 

C. 多項式

　　假如前n個變量的總和已經確定爲$X$，那麼後面的貢獻就是組合數，展開可以得到一個$m-n$次多項式。

　　所以求出來前面總和的k次方的和就可以將這些東西代入多項式得到答案。

　　考慮怎麼求這個東西，直接倍增即可。