淺談樹分治

前言

內容大概有

• 點分治

點分治

兩年前好像寫過一篇關於點分治的文章（但是菜得很）：https://blog.csdn.net/qq_38944163/article/details/81544134

用於解決某類樹上路徑的問題的高效算法

算法核心思想： 每次欽定一個點作爲根，統計經過這個點的路徑的貢獻（兩端都在子樹內），然後這個點各個兒子子樹之前不再有貢獻，一路分治下去即可（兒子樹的互相獨立）。

在樹上欽定的點要保證刪掉這個點後最大的連通塊節點個數最小，這個點就是樹的重心。

找重心：

• 首先隨便找一個點爲根dfs,統計出每個子樹的大小
• 假設把$u$刪掉後最大的連通塊節點個數是 $max{\{size[v_1], size[v_2],...size[v_k],n-size[u] }\}$,$v_{1...k}$是$u$的兒子節點
• 最後一個for找到一個u使得連通塊節點個數最小就好了（$max {\{size[v_1],size[v_2],....,size[v_k]}\}$可以在dfs的時候就求出來）
• 然後就沒了
  這麼做一次的大小是$O(當前樹的總節點個數)$

複雜度證明

一定可以存在一個點使得它的每個兒子的子樹大小都不大於 $\frac{總節點}{2}$
可以用主定理證明
$T(n) = 2*T(n / 2) + n \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 2*(2*T(n/4)+n/2)+n$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ = 4*T(n/4) +2*n$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ = 4*(2*T(n/8)+n/4) +2*n$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ = 8*T(n/8) +3*n$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ = nlog_2n$

也可以簡單考慮，每個兒子子樹大小都不大於$\frac{總節點}{2}$,所以每次分治下去，當前樹的節點數/2,最多分治log層，每層都是n個，所以時間複雜度$O(nlog_2n)$

算法實現

int solve(int u) { //處理以u爲根的子樹
	dfs(u);
	for 找重心 u
	calc(u);//處理通過u的路徑
	vis[u] = 1;
	for v : son[u]
		if(!vis[v]) solve(v);
}

例題

luogu P4149 [IOI2011]Race

套路題
看代碼能懂 (以前的代碼，很醜)

評測記錄 code

luogu P4178 Tree
和第一題一樣，唯一的不同就是計算的是<=的，算的時候用樹狀數組維護前綴和就好了
評測記錄

SP1825 FTOUR2 - Free tour II
上一題改成維護最大值就好了
評測記錄

未完待續……
To be continue……