二分：快速冪

問題

給定三個正整數 a、b、m（ a<10⁹，b<10⁶，1<m<10⁹），求 a^b % m 的值

一般寫法

爲了防止溢出使用long，Java代碼，long爲64位，等同於 C語言 的 long long

public long binaryPow(long a, long b, long m){
    long ans = 1;
    for(int i = 0; i < b; i++){
        ans = ans * a % m;
    }
    return ans;
}

更進一步問題

給定三個正整數 a、b、m（ a<10⁹，b<10¹⁸，1<m<10⁹），求 a^b % m 的值

b的範圍擴大到 10¹⁸，上面的方法肯定不行，O(b)的複雜度難以支持 10¹⁸。

所以使用快速冪的方法

快速冪

基於二分的思想，也叫“二分冪”：

① 如果 b 是奇數，那麼 a^b = a * a^b-1

② 如果 b 是偶數，那麼 a^b = a^b/2 * a^b/2

遞歸寫法

// 求 a^b%10，遞歸寫法
long binaryPow(long a, long b, long m ){
    if(b == 0) return 1;	// 如果 b 爲 0，那麼 a^0=1；
    // b 爲奇數，轉化爲b-1
    if(b & 1 == 1)
        return a * binaryPow(a, b-1, m) % m;
    else{	// b 爲偶數，轉換爲 b/2
        long mul = binaryPow(a, b/2, m) % m;
        return mul * mul % m;
    }
}

1. 判斷奇數可以使用 b & 1 == 1，也可以 b % 2 == 1

2. b爲偶數時，不要（binaryPow(a, b/2, m) % m）* binaryPow(a, b/2, m) % m，因爲這樣會計算兩個遞歸

3. 細節

   • 如果 a 的初始值有可能大於等於 m，那麼需要再進入函數前讓其對 m 取模
   • 如果 m 爲 1，可以直接再函數外特判返回 0，因爲任何正整數對 1 取模一定爲 0

迭代寫法

如果把 b 寫成 二進制，就可以把 a^b 表示爲 a 的二次冪的和。

例如：當 b = 13，就是1101，13 = 1 * 2³ + 1 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰，也就表示成 a¹³ = a⁸ + a⁴ + a¹，前一項總是等於後一項的平方（有些位是乘0）

因此具體實現的時候可以這麼做：

1. 初始令 ans 等於 1，用來存放累計的結果
2. 判斷 b 的二進制末尾是否爲 1（即判斷 b 是否爲奇數，b&1 是否爲 1），如果是，令 ans 乘上 a
3. 令 a 平方，並將 b 右移一位（也可理解爲將 b 除 2）
4. 只要 b 大於0，就回到第2步

// 求 a^b%10，迭代寫法
long binaryPow(long a, long b, long m){
    long ans = 1;
    while(b > 0){
        if(b & 1 == 1){
            ans = ans * a % m;
        }
        a = a * a % m;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

實際中遞歸寫法和迭代寫法效率差距不明顯，所以使用兩種都可

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參考：《算法筆記》胡凡