3D圖形數學基礎（二）向量

向量運算

1. 向量的模（向量大小）

公式

向量的模一般公式：
$\lvert \overrightharpoon{v} \rvert=\sqrt{v_1^2+v_2^2+...+v_n^2}=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^nv_i^2}$
對於二維和三維向量，公式分別爲：
$\lvert \overrightharpoon{v} \rvert=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$
$\lvert \overrightharpoon{v} \rvert=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$

幾何應用

求兩點間的距離：

$a點的座標若爲向量，可表示原點到a點的向量；b亦同。則可知a點到b的向量\overrightharpoon{b} - \overrightharpoon{a} ,\lvert\overrightharpoon{b} - \overrightharpoon{a}\rvert則爲a點到b點的距離。$
距離公式爲：
$Distance(a,b)=\lvert\overrightharpoon{ab}\rvert=\lvert\overrightharpoon{b}-\overrightharpoon{a}\rvert=\sqrt{(b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2}$

2. 標量與向量的乘法

公式

$k \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} ka_1\\ ka_2\\ ...\\ ka_n\\ \end{bmatrix}$

幾何解釋

若k>0，表示該向量在原來的方向上縮放向量的長度；若k<0，則表示該向量在相反方向上縮放該向量的長度。

3. 單位向量

單位向量是模爲1的向量，一般用來表示向量的方向。一個向量除以該向量的模，可以得到該向量的單位向量。
$\overrightharpoon{v}_{norm}=\frac{ \overrightharpoon{v}}{ \lvert\overrightharpoon{v}\rvert}, \overrightharpoon{v}{=}\mathllap{/\,}0$
零向量沒有方向，不能被標準化，在數學上不允許，幾何上也沒有意義。

4. 向量加減法

公式

$\begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_1+b_1\\ a_2+b_2\\ ...\\ a_n+b_n\\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n\\ \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_1-b_1\\ a_2-b_2\\ ...\\ a_n-b_n\\ \end{bmatrix}$
向量不能與標量或緯度數不同的向量相加減。

幾何解釋

$\overrightharpoon{a} + \overrightharpoon{b} 表示爲平移向量\overrightharpoon{b}，使\overrightharpoon{b}的尾與向量\overrightharpoon{a}的頭順序相接，然後從\overrightharpoon{a}的尾到\overrightharpoon{b}的頭畫一個向量。$

$\overrightharpoon{ba} = \overrightharpoon{a} - \overrightharpoon{b}, 表示點b到點a的向量，\lvert \overrightharpoon{a} - \overrightharpoon{b}\vert則表示點a與點b之間的距離大小。$

5. 向量點乘

公式

向量點乘就是對應分量乘積的和，結果是一個標量：
$\overrightharpoon{a} · \overrightharpoon{b}=\begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n\\ \end{bmatrix}· \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n\\ \end{bmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$
點乘與向量間的夾角相關：
$\overrightharpoon{a} · \overrightharpoon{b}=\lvert\overrightharpoon{a} \rvert\lvert \overrightharpoon{b}\rvert\cos{\theta}$

幾何應用

求向量夾角
若已知兩向量，可以求得它們的夾角：
$\theta=\arccos{\frac{ \overrightharpoon{a}· \overrightharpoon{b}}{ \lvert\overrightharpoon{a}\rvert \lvert\overrightharpoon{b}\rvert}}$
當兩向量爲單位向量時，向量的模的乘積等於1，則分母爲1，夾角爲：
$\theta=\arccos{(\overrightharpoon{a}· \overrightharpoon{b})}$
向量的乘積與夾角的關係：

$\overrightharpoon{a}· \overrightharpoon{b}$	$\theta$	角度	$\overrightharpoon{a}和 \overrightharpoon{b}$
>0	$0^o\leqslant\theta<90^o$	銳角	方向大致相同
=0	$\theta=90^o$	垂直	正交
<0	$90^o<\theta\leqslant180^o$	鈍角	方向大致相反

若其中一個爲零向量，則點乘乘積爲0，所以零向量和任意向量都垂直。

6. 向量叉乘

公式

$\overrightharpoon{a}×\overrightharpoon{b}= \begin{bmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1\\ \end{bmatrix}× \begin{bmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} y_1z_2-z_1y_2\\ z_1x_2-x_1z_2\\ x_1y_2-y_1x_2\\ \end{bmatrix}$
點乘和叉乘運算優先級一樣，且高於加減。
叉乘得到的向量的模等於向量的大小與向量夾角sin值的乘積：
$\lvert\overrightharpoon{a}×\overrightharpoon{b}\rvert=\lvert\overrightharpoon{a}\rvert\lvert\overrightharpoon{b}\rvert\sin{\theta}$
下面與點乘對比一下，加強記憶：
$\overrightharpoon{a} · \overrightharpoon{b}=\lvert\overrightharpoon{a} \rvert\lvert \overrightharpoon{b}\rvert\cos{\theta}$

幾何解釋

叉乘得到的向量垂直於原來兩向量。

向量叉乘的大小等於以兩個向量爲兩邊的平行四邊形的面積：

$S=h×\lvert\overrightharpoon{b}\rvert=\lvert\overrightharpoon{a}\rvert×\sin{\theta}×\lvert\overrightharpoon{b}\rvert=\lvert\overrightharpoon{a}\rvert\lvert\overrightharpoon{b}\rvert\sin{\theta}=\lvert\overrightharpoon{a}×\overrightharpoon{b}\rvert$
向量叉乘垂直於兩向量所在平面，那向量叉乘的方向如何呢？
$對於\overrightharpoon{a}×\overrightharpoon{b}，將\overrightharpoon{a}與\overrightharpoon{b}首尾相接，然後根據順時針或逆時針方向確定叉乘向量的方向。$

對於左手座標系，在順時針方向中，叉乘向量指向上（外）；逆時針時，叉乘向量指向下（內）。
對於右手座標系，在順時針方向中，叉乘向量指向下（內）；逆時針時，叉乘向量指向上（外）。

7. 向量投影

公式

$在給定的兩個向量\overrightharpoon{v}和\overrightharpoon{n}，將\overrightharpoon{v}分解爲分別平行和垂直\overrightharpoon{n}的兩個向量\overrightharpoon{v_\text{\textbardbl}}和\overrightharpoon{v_\bot},並滿足\overrightharpoon{v}=\overrightharpoon{v_\text{\textbardbl}}+\overrightharpoon{v_\bot}。一般稱平行分量\overrightharpoon{v_\text{\textbardbl}}爲\overrightharpoon{v}在\overrightharpoon{n}上的投影。$

幾何解釋

下面我們推導一下投影向量和垂直分量向量公式：
$\overrightharpoon{v_\text{\textbardbl}} = \frac{\overrightharpoon{n}}{\lvert\overrightharpoon{n}\rvert}×(\lvert\overrightharpoon{v}\rvert×\cos{\theta})$
$因爲\cos{\theta}=\frac{\overrightharpoon{v}·\overrightharpoon{n}}{\lvert\overrightharpoon{v}\rvert\lvert\overrightharpoon{n}\rvert}，所以:\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space$
$\overrightharpoon{v_\text{\textbardbl}}=\frac{\overrightharpoon{n}}{\lvert\overrightharpoon{n}\rvert}×(\lvert\overrightharpoon{v}\rvert×\frac{\overrightharpoon{v}·\overrightharpoon{n}}{\lvert\overrightharpoon{v}\rvert\lvert\overrightharpoon{n}\rvert}) =\overrightharpoon{n}\frac{\overrightharpoon{v}·\overrightharpoon{n}}{\lvert\overrightharpoon{n}\rvert^2}$
$如果\overrightharpoon{n}是單位向量，則投影公式簡化爲:\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space$
$\overrightharpoon{v_\text{\textbardbl}}=(\overrightharpoon{v}·\overrightharpoon{n})\overrightharpoon{n}$
根據投影公式，可以推得垂直分量公式：
$\overrightharpoon{v_\bot}+\overrightharpoon{v_\text{\textbardbl}}=\overrightharpoon{v}$
$\overrightharpoon{v_\bot}=\overrightharpoon{v}-\overrightharpoon{v_\text{\textbardbl}}=\overrightharpoon{v}-\overrightharpoon{n}\frac{\overrightharpoon{v}·\overrightharpoon{n}}{\lvert\overrightharpoon{n}\rvert^2}$

$如果\overrightharpoon{n}是單位向量，則投影公式簡化爲:\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space$
$\overrightharpoon{v_\bot}=\overrightharpoon{v}-(\overrightharpoon{v}·\overrightharpoon{n})\overrightharpoon{n}$

8. 其它公式

公式	解釋
$k(\overrightharpoon{a}+\overrightharpoon{b})=k\overrightharpoon{a}+k\overrightharpoon{b}$	標量乘法對向量加分的分配率
$\lvert k\overrightharpoon{a}\rvert=\lvert k\rvert\lvert\overrightharpoon{a}\rvert$	向量乘以標量相當於以標量的絕對值對因子縮放向量
$\vert\overrightharpoon{a}\rvert^2+\vert\overrightharpoon{b}\rvert^2=\vert\overrightharpoon{a}+\overrightharpoon{b}\rvert^2$	勾股定理
$\vert\overrightharpoon{a}\rvert+\vert\overrightharpoon{b}\rvert\geqslant\vert\overrightharpoon{a}+\overrightharpoon{b}\rvert$	向量加法的三角形法則
$\overrightharpoon{a}×\overrightharpoon{a}=\overrightharpoon{0}$	任意向量與自身的叉乘等於零向量
$\overrightharpoon{a}×\overrightharpoon{b}=-(\overrightharpoon{b}×\overrightharpoon{a})$	叉乘逆交換律
$\overrightharpoon{a}×\overrightharpoon{b}=(-\overrightharpoon{a})×(-\overrightharpoon{b})$	叉乘的操作數同時變負得到相同的結果
$k(\overrightharpoon{a}×\overrightharpoon{b})=(k\overrightharpoon{a})×\overrightharpoon{b}=\overrightharpoon{a}×(k\overrightharpoon{b})$	標量乘法對叉乘的結合律
$\overrightharpoon{a}×(\overrightharpoon{b}+\overrightharpoon{c})=\overrightharpoon{a}×\overrightharpoon{b}+\overrightharpoon{a}×\overrightharpoon{c}$	叉乘對向量加法的分配率
$\overrightharpoon{a}·(\overrightharpoon{a}×\overrightharpoon{b})=0$	向量與另一向量的叉乘再點乘該向量本身等於零