擴展歐幾里得算法與二元一次方程的整數解

問題引入

給出整數 a ， b ， n ，問方程 ax + by = n 什麼時候有整數解？如何求出所有的整數解？

有解的充分必要條件是 gcd(a,b) 整除 n

簡單解釋一下，令 a = gcd(a,b) a’ ， b = gcd(a,b) b’ ,有 ax + by = gcd(a,b)(a’x+b’y) = n,如果 x ， y ，a’ , b’ 都是整數的話，那麼 n 必須是 gcd(a,b) 的倍數纔有解。

例如 4x+6y = 8、2x+3y = 4 有整數解，而 4x+6y = 7沒有整數解。
如果確定有解，一種解題的方法是先找到一個解(x₀,y₀),那麼通解就爲：
x = x₀ + bt , y = y₀ - at (t 是任意整數)
利用拓展歐幾里得算法便可以求出特解(x₀,y₀)

拓展歐幾里得算法

當方程符合ax + by = gcd(a,b)時，可用拓展歐幾里得算法求出(x₀,y₀),如下：

void gcdEx(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b == 0){
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    gcdEx(b,a%b,x,y);
    int tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - (a/b)*y;
}

求任意方程 ax + by = n 的一個整數解

用拓展歐幾里得算法得出方程 ax + by = gcd(a,b) 的一個特解後，利用它可以進一步得出任意方程 ax + by = n 的一個解，步驟如下：

1. 判斷方程 ax + by = n 是否有整數解，有解的條件是 gcd(a,b) 可以整除 n
2. 用拓展歐幾里得算法求 ax + by = gcd(a,b) 的一個解(x₀,y₀)
3. 在 ax₀ + by₀ = gcd(a,b) 兩邊同時乘以 ${n \above{0.5pt} gcd(a,b)}$ , 得：
   ${ax_0n \above{0.5pt} gcd(a,b)}$ + ${by_0n \above{0.5pt} gcd(a,b)}$ = n
4. 對照 ax + by = n，得到它的一個解(x^’₀,y^’₀) 爲：
   x^’₀ = ${x_0n \above{0.5pt} gcd(a,b)}$ ， y^’₀ = ${y_0n \above{0.5pt} gcd(a,b)}$

綜上總的代碼爲:

//拓展歐幾里得算法
void gcdEx(int a,int b,int &x,int &y);//參加上方

int main()
{
    int a,b,n,x(0),y(0);
    cin>>a>>b>>n;
    if(n%__gcd(a,b) == 0){ //第一步判斷方程是否有整數解
        gcdEx(a,b,x,y);//第二步求方程 ax+by=gcd(a,b) 的一個特解
        x = x*n/__gcd(a,b); //第三步計算 ax+by=n 的解
        y = y*n/__gcd(a,b);
        cout<<x<<" "<<y<<endl;
    }
    return 0;
}

應用場合

1. 求解不定方程
2. 求解模的逆元
3. 求解同餘方程