作者 謝恩銘，公衆號「程序員聯盟」。
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內容簡介
- 前言
- 尋找最大和最小的元素
- 尋找不重複的元素
- 尋找不重複的元素：另一種方法
- 第一部分第六課預告
1. 前言
經過 數據結構和算法 | 第一部分第三課：算法複雜度（上） 和 數據結構和算法 | 第一部分第四課：算法複雜度（下） ，我們講完了算法複雜度，是時候來做點實踐的練習，鞏固一下所學知識點了。
算法的複雜度是個不錯的知識點，但是它與我們這門算法的課程有什麼關係呢？我們慢慢來看。
算法學（Algorithmics）是設計和研究算法的科學，它的歷史可比計算機科學的歷史久遠多了，但今天算法學卻幾乎全由計算機科學家實踐。
算法學是一個非常廣泛的領域，需要不少數學知識。當然了，並非所有計算機科學家都需要成爲天才的算法學家。從算法的角度來看，大多數程序員面臨的問題實際上非常簡單。
但我們有時需要實現一些更復雜的東西。在這種情況下，算法方面的基本知識就會顯得非常有用。我們並不要求你發明一種革命性的新算法並給出其複雜度的具體證明，但爲了能夠準確地使用那些在網絡上或軟件庫中找到的算法，還是有必要接受一下“基礎培訓”的。
懂算法會讓你更有效率，能夠更好地理解你所要解決的問題，也不會寫出不規範的代碼：有一些代碼儘管可以正常運行，但從算法的角度來看卻是不合理的。一個經驗不豐富的程序員可能會直接使用這些不合格的算法（他會想：“代碼能運行，所以應該沒什麼問題”），但你因爲懂算法，就能很快發現代碼的問題，並改寫出一個優秀得多的版本。
聽我說了這些，你可能有點躍躍欲試了。下面是兩個簡單的對於算法複雜度的研究題，它們可以讓你更準確地瞭解算法複雜度的作用。
2. 尋找最大和最小的元素
問題 1：
有一個正整數列表，我們想要找到列表中最大的整數。
這個問題的經典解法如下：遍歷此列表，並一直保存迄今爲止發現的最大元素，稱其爲“當前最大值”。
我們可以將此算法描述爲：
一開始，“當前最大值”等於 0。我們用列表中每一個元素去和“當前最大值”做比較，如果當前遍歷到的元素比“當前最大值”更大，則將“當前最大值”設爲當前元素的值。在遍歷完整個列表後，“當前最大值”就真的“實至名歸”了。
下面我們給出此算法的一種實現，是用“世界上最好的編程語言” PHP 來實現的（當然，你也可以用其他編程語言來實現）：
<?php
function max($list) {
$current_max = 0;
foreach ($list as $item)
if ($item > $current_max)
$current_max = $item;
return $current_max;
}
?>
我們可以快速驗證此算法是正確的：我們只需要確認在此算法執行時，“當前最大值”總是等於到目前爲止所遍歷到的列表元素裏最大的那個值。
我們也注意到此算法是會“結束”的，它不會陷入無限循環：此算法遍歷完整個列表，然後停止。這看起來像一個不重要的細節，但實際上有一些編程語言裏是可以表示無限多元素的列表的：在這種情況下，我們的算法是不正確的。
現在讓我們研究此算法的複雜度。我們要考慮哪些操作呢？顯然，大部分工作都在於將當前元素與“當前最大值”進行比較（畢竟，“當前最大值” current_max 的初始化（初始化爲 0）並不佔多少運行時間），因此我們計算“比較操作”的次數，將其作爲此算法的操作數。
算法的執行時間取決於哪些參數呢？可以想見，執行時間並不依賴於列表中每個元素的值（在此，我們假設兩個整數的比較時間是恆定的，不論它們的值是多少）。因此，我們用元素列表的長度 N 來量化輸入。
對於一個包含 N 個元素的列表，我們要進行 N 次比較：每個元素都與“當前最大值”進行一次比較。因此，算法的時間複雜度是 O(N)：它的執行時間是呈線性的，與列表的元素數目 N 成正比。
那麼，此算法的空間複雜度是多少呢？此算法使用了一個列表，裏面的元素佔用了一定的內存空間。但是，這個列表在我們查找其最大元素之前就已經存在了，它所佔用的內存空間並不是由我們的算法分配的，因此我們說此列表的元素數目 N 並不會被考慮到算法的空間複雜度的計算中，我們只考慮由我們的算法直接申請的內存。
而我們的算法直接申請的內存空間幾乎可以忽略不計，因爲最多就是佔用了一個臨時變量（current_max），用以存儲“當前最大值”。因此，我們的算法所佔用的內存空間不依賴於列表的長度： （我們將空間複雜度記爲 O(1)，表示它不依賴於 N）。
對於我們的算法，現在只剩下一個小細節要注意了：如果我們的列表是空的，那麼返回的最大值將是 0。要說“一個空的列表的最大值是 0” 顯然不一定是正確的：在某些情況下，如果列表是空的，最好返回一個錯誤。
因此我們可以改進一下我們的算法：我們不再爲“當前最大值”賦初值爲 0，而是以列表的第一個元素（如果該列表爲空，則返回一個錯誤）作爲“當前最大值”的初始值。然後，我們從第二個元素開始比較。
經過改進後的算法執行 N-1 次比較（因爲我們不必將第一個元素與它自己進行比較）。不過，這並沒有改變算法的時間複雜度：N 和 N-1 之間的時間差並不依賴於 N，它是恆定的，因此我們可以忽略它：兩種算法具有相同的時間複雜度，它們都是時間線性的（時間複雜度是 O(N) ）。
最後，我們注意到第二個算法也適用於負數（如果列表的所有元素都是負數，第一個算法會返回 0，這顯然不正確）。因此改良後的第二個算法更通用，也更好。
當然了，查找列表中最小值的算法和查找最大值是類似的，我們就不贅述了。
3. 尋找不重複的元素
現在我們來看第 2 個問題。
問題 2：
有一個列表 1，其中包含重複項（多次出現的元素）：我們想要構建一個包含與列表 1 相同元素的列表 2，但是列表 2 中每個元素只重複出現一次。
例如，列表 1 裏有以下元素：
AABCDBCA
則列表 2 將包含以下元素：
ABCD
你想到解決這個問題的算法了嗎？在閱讀我的解決方案之前，請自己思考一下。
我的解決方案
我的算法如下：
對於給定的包含重複元素的列表 L，我們要構建一個新的列表 U（取英語 Unique（“獨一無二的”）的第一個字母），列表 U 一開始是空的，我們需要往裏面填充元素。
我們遍歷列表 L，對於列表 L 中的每一個元素，我們確認一下它是否存在於列表 U 中（可以用與之前的查找最大元素類似的算法，畢竟就是逐一比較元素嘛）。
如果列表 L 中遍歷到的元素還不在列表 U 中，就將這個元素添加進列表 U 中；如果已經存在於列表 U 中，就不添加。
遍歷完列表 L 後，列表 U 中就擁有了和列表 L 相同的元素，只是這些元素都是不重複出現的。
練習： 使用你喜歡的編程語言來實現上述從列表中提取不重複元素的算法。
複雜度
這個算法的複雜度是多少？如果你充分理解了之前查找列表最大值的算法的複雜度的計算，那麼這對你來說應該很簡單。
對於給定列表 L 中的每個元素，我們都會執行遍歷列表 U 的操作，因此執行的操作數與列表 U 包含的元素數目有關。
但問題是：列表 U 的大小在遍歷給定列表 L 的過程中會發生變化，因爲我們會添加元素進列表 U。當我們遍歷到列表 L 中的第一個元素時，列表 U 還是空的（因此我們不執行任何比較操作）；當我們遍歷到列表 L 的第二個元素時，列表 U 有 1 個元素，所以我們要再執行一個比較操作。
但是當我們遍歷到列表 L 中的第三個元素時，我們就變得不是那麼肯定了：如果列表 L 中的前兩個元素是不相同的，它們都被添加到 U 中，在這種情況下我們要執行 2 次比較操作（將列表 L 中的第三個元素分別與列表 U 中的兩個元素作比較）；如果前兩個元素是相同的，那麼列表 L 中的第二個元素就沒有被添加到列表 U 中，只執行 1 次比較操作。
正如我們的課程裏已經說過的，複雜度的計算需要考慮在“最壞的情況”（worst case）下：也就是執行的操作數目最多時的複雜度。因此，我們將認爲給定列表 L 的所有元素都是不相同的。
在“最壞的情況”下，我們將給定列表 L 的所有元素逐一添加進列表 U 中。假設給定列表 L 一共有 N 個元素，在遍歷到給定列表 L 的第 N 個元素時，我們已經向列表 U 添加了 (N-1) 個元素了，因此這時要做 (N-1) 次比較操作。
所以我們總共要做的比較操作數是 0 + 1 + 2 + … + (N-1) 。開始時的操作數少，越到後面做的操作越多（有點像人生，出生時責任比較少，慢慢地責任越來越大，要處理的事情也越來越多，不過也說明你在成長，畢竟“能者多勞”）。
上面這一串數字相加，得到的總操作數是 N * (N - 1) / 2（這個不難，是數學裏面的等差數列求和公式），由於我們在計算複雜度時考慮的是 N 很大的情況，上面的結果可以約等於 N * N / 2，即 N2 / 2 個操作。
因此，我們的算法具有 O(N2) 的時間複雜度（我們去除了常數因子 1/2）。我們也可以稱 O(N2) 爲“二次/平方”的複雜度（正如我們稱 O(N) 具有“線性”的複雜度）。
與之前那個查找最大元素的算法比起來，現在這個算法除了速度較慢（時間複雜度較高）之外，還具有更高的空間複雜度：我們構建了一個最初不存在的列表 U（因此申請了內存空間）。
在最壞的情況下，列表 U 還具有與給定列表 L 一樣多的元素：因此將爲 N 個元素分配空間，這使得空間複雜度爲 O(N)。之前查找最大元素的算法的空間複雜度是恆定的（O(1)），但現在這個算法的空間複雜度卻是線性的（O(N)）。
該算法只需要比較元素，因此被操作的元素並不一定要是整數：我們可以用相同的算法來消除單詞列表中重複的單詞，重複的浮點數，等等。因此，許多算法是與使用的元素的具體類型無關的。
4. 尋找不重複的元素：另一種方法
尋找不重複的元素，其實還有另一種算法（聰明如你可能也想到了）：我們可以先對給定列表 L 中的元素進行排序，使得所有重複的元素都相鄰，這樣排除重複元素將變得很簡單。
比如給定列表 L 初始是這樣的：
AABCDBCA
我們可以在構建列表 U 前，先對列表 L 進行排序，使其變成下面這樣：
AAABBCCD
這樣，我們之後構建列表 U 的算法就簡單了。
算法如下：
只需遍歷排序後的列表 L，並記住最近一次遍歷到的那個元素。如果當前元素與前一個元素相同，則這個元素是重複的，就不要把它包含在不重複元素的列表 U 中。
如果重複的元素彼此不相鄰，則上述算法不再有效。因此我們必須先對列表進行排序。
這個新的算法的時間複雜度是什麼？消除重複是在列表的單次遍歷中完成的，因此是線性的（ O(N)）。但由於我們必須先對列表進行排序，因此第一步排序的操作也必須被考慮進這種新算法的總複雜度中。
當然了，在這裏提到列表的排序還稍微有一些太早了，因爲我們在之後的課程裏纔會講到排序算法。
儘管目前我們還沒有學習排序算法和它們的複雜度，但我還是想說一下這個新算法的複雜度問題。
事實證明，這種算法的複雜度取決於排序的複雜度：因爲，排序基本上會執行 N2 個操作，這遠遠超過我們之後的構建列表 U 時的 N 個操作，所以整體複雜度是 O(N2)。
然而，也存在更高端的排序算法，雖然仍然執行多於 N 個操作，但比 N2 要少得多。
我們將在之後的課程裏學習排序算法，目前你只需要知道這個多了一步排序的新算法比舊算法更有效，也更“高級”。
“在列表中搜索指定元素”與“找出列表中最大/小值的元素”是非常相似的算法，都是線性時間的（算法的時間複雜度是 O(N)），空間複雜度都是 O(1)。
消除列表中的重複元素的算法更復雜一些，因爲最簡單的算法在時間上具有平方的時間複雜度（O(N2)），其空間複雜度具有線性（O(N)）。
我希望這些更具體的研究能讓你確信算法學和算法複雜度還是很有用的。現在你也應該已經習慣“算法”，“時間複雜度”，“空間複雜度”這些基本概念了。
下一課開始，我們要學習數據結構了，這樣我們就能把數據結構和算法相結合並融會貫通了，畢竟這一對“活寶”是休慼相關的。
5. 第一部分第六課預告
今天的課就到這裏，一起加油吧！
下一課：數據結構和算法 | 第一部分第六課：數據結構之數組和鏈表（上）
我是 謝恩銘，公衆號「程序員聯盟」號主，慕課網精英講師 Oscar 老師，終生學習者。
熱愛生活，喜歡游泳，略懂烹飪。
人生格言：「向着標杆直跑」