本文主要內容包括： (1) 介紹神經網絡基本原理，(2) Matlab實現前向神經網絡的方法 。
第0節、引例
本文以Fisher的Iris數據集作爲神經網絡程序的測試數據集。
由於英文的類無法識別，故需要把對應的類用數字標識，數據集變成：
。這裏簡要介紹一下Iris數據集：有一批Iris花，已知這批Iris花可分爲3個品種，現需要對其進行分類。不同品種的Iris花的花萼長度、花萼寬度、花瓣長度、花瓣寬度會有差異。我們現有一批已知品種的Iris花的花萼長度、花萼寬度、花瓣長度、花瓣寬度的數據。一種解決方法是用已有的數據訓練一個神經網絡用作分類器。
第一節、神經網絡基本原理
1. 人工神經元( Artificial Neuron )模型
人工神經元是神經網絡的基本元素，其原理可以用下圖表示：
圖1 ：神經元
圖中x1~xn是從其他神經元傳來的輸入信號，wij表示表示從神經元j到神經元i的連接權值，θ表示一個閾值 ( threshold )，或稱爲偏置( bias )。則神經元i的輸出與輸入的關係表示爲：
圖中 yi表示神經元i的輸出，函數f稱爲激活函數 ( Activation Function )或轉移函數 ( Transfer Function ) ，net稱爲淨激活(net activation)。若將閾值看成是神經元i的一個輸入x0的權重wi0，則上面的式子可以簡化爲：
若用X表示輸入向量，用W表示權重向量，即：
X = [ x0 , x1 , x2 , ....... , xn ]
則神經元的輸出可以表示爲向量相乘的形式：
若神經元的淨激活net爲正，稱該神經元處於激活狀態或興奮狀態(fire)，若淨激活net爲負，則稱神經元處於抑制狀態。
圖1中的這種“閾值加權和”的神經元模型稱爲M-P模型 ( McCulloch-Pitts Model )，也稱爲神經網絡的一個處理單元( PE, Processing Element )。
2. 常用激活函數
激活函數的選擇是構建神經網絡過程中的重要環節，下面簡要介紹常用的激活函數。
(1) 線性函數 ( Liner Function )
(2) 斜面函數 ( Ramp Function )
(3) 閾值函數 ( Threshold Function )
以上3個激活函數都屬於線性函數，下面介紹兩個常用的非線性激活函數。
(4) S形函數 ( Sigmoid Function )
該函數的導函數：
(5) 雙極S形函數
該函數的導函數：
S形函數與雙極S形函數的圖像如下：
圖3. S形函數與雙極S形函數圖像
雙極S形函數與S形函數主要區別在於函數的值域，雙極S形函數值域是(-1,1)，而S形函數值域是(0,1)。
由於S形函數與雙極S形函數都是可導的(導函數是連續函數)，因此適合用在BP神經網絡中。（BP算法要求激活函數可導）
3. 神經網絡模型
神經網絡是由大量的神經元互聯而構成的網絡。根據網絡中神經元的互聯方式，常見網絡結構主要可以分爲下面３類：
(1) 前饋神經網絡 ( Feedforward Neural Networks )
前饋網絡也稱前向網絡。這種網絡只在訓練過程會有反饋信號，而在分類過程中數據只能向前傳送，直到到達輸出層，層間沒有向後的反饋信號，因此被稱爲前饋網絡。感知機( perceptron)與BP神經網絡就屬於前饋網絡。
圖4 中是一個3層的前饋神經網絡，其中第一層是輸入單元，第二層稱爲隱含層，第三層稱爲輸出層（輸入單元不是神經元，因此圖中有2層神經元）。
圖4. 前饋神經網絡
對於一個3層的前饋神經網絡N，若用X表示網絡的輸入向量，W1~W3表示網絡各層的連接權向量，F1~F3表示神經網絡3層的激活函數。
那麼神經網絡的第一層神經元的輸出爲：
O1 = F1( XW1 )
第二層的輸出爲：
O2 = F2 ( F1( XW1 ) W2 )
輸出層的輸出爲：
O3 = F3( F2 ( F1( XW1 ) W2 ) W3 )
若激活函數F1~F3都選用線性函數，那麼神經網絡的輸出O3將是輸入X的線性函數。因此，若要做高次函數的逼近就應該選用適當的非線性函數作爲激活函數。
(2) 反饋神經網絡 ( Feedback Neural Networks )
反饋型神經網絡是一種從輸出到輸入具有反饋連接的神經網絡，其結構比前饋網絡要複雜得多。典型的反饋型神經網絡有：Elman網絡和Hopfield網絡。
圖5. 反饋神經網絡
(3) 自組織網絡 ( SOM ,Self-Organizing Neural Networks )
自組織神經網絡是一種無導師學習網絡。它通過自動尋找樣本中的內在規律和本質屬性，自組織、自適應地改變網絡參數與結構。
圖6. 自組織網絡
4. 神經網絡工作方式
神經網絡運作過程分爲學習和工作兩種狀態。
(1)神經網絡的學習狀態
網絡的學習主要是指使用學習算法來調整神經元間的聯接權，使得網絡輸出更符合實際。學習算法分爲有導師學習( Supervised Learning )與無導師學習( Unsupervised Learning )兩類。
有導師學習算法將一組訓練集 ( training set )送入網絡，根據網絡的實際輸出與期望輸出間的差別來調整連接權。有導師學習算法的主要步驟包括：
1） 從樣本集合中取一個樣本（Ai，Bi）；
2） 計算網絡的實際輸出O；
3） 求D=Bi-O；
4） 根據D調整權矩陣W；
5） 對每個樣本重複上述過程，直到對整個樣本集來說，誤差不超過規定範圍。
BP算法就是一種出色的有導師學習算法。
無導師學習抽取樣本集合中蘊含的統計特性，並以神經元之間的聯接權的形式存於網絡中。
Hebb學習律是一種經典的無導師學習算法。
(2) 神經網絡的工作狀態
神經元間的連接權不變，神經網絡作爲分類器、預測器等使用。
下面簡要介紹一下Hebb學習率與Delta學習規則 。
(3) 無導師學習算法：Hebb學習率
Hebb算法核心思想是，當兩個神經元同時處於激發狀態時兩者間的連接權會被加強，否則被減弱。
爲了理解Hebb算法，有必要簡單介紹一下條件反射實驗。巴甫洛夫的條件反射實驗：每次給狗餵食前都先響鈴，時間一長，狗就會將鈴聲和食物聯繫起來。以後如果響鈴但是不給食物，狗也會流口水。
圖7. 巴甫洛夫的條件反射實驗
受該實驗的啓發，Hebb的理論認爲在同一時間被激發的神經元間的聯繫會被強化。比如，鈴聲響時一個神經元被激發，在同一時間食物的出現會激發附近的另一個神經元，那麼這兩個神經元間的聯繫就會強化，從而記住這兩個事物之間存在着聯繫。相反，如果兩個神經元總是不能同步激發，那麼它們間的聯繫將會越來越弱。
Hebb學習律可表示爲：
其中wij表示神經元j到神經元i的連接權，yi與yj爲兩個神經元的輸出，a是表示學習速度的常數。若yi與yj同時被激活，即yi與yj同時爲正，那麼Wij將增大。若yi被激活，而yj處於抑制狀態，即yi爲正yj爲負，那麼Wij將變小。
(4) 有導師學習算法：Delta學習規則
Delta學習規則是一種簡單的有導師學習算法，該算法根據神經元的實際輸出與期望輸出差別來調整連接權，其數學表示如下：
其中Wij表示神經元j到神經元i的連接權，di是神經元i的期望輸出，yi是神經元i的實際輸出，xj表示神經元j狀態，若神經元j處於激活態則xj爲1，若處於抑制狀態則xj爲0或－1（根據激活函數而定）。a是表示學習速度的常數。假設xi爲1，若di比yi大，那麼Wij將增大，若di比yi小，那麼Wij將變小。
Delta規則簡單講來就是：若神經元實際輸出比期望輸出大，則減小所有輸入爲正的連接的權重，增大所有輸入爲負的連接的權重。反之，若神經元實際輸出比期望輸出小，則增大所有輸入爲正的連接的權重，減小所有輸入爲負的連接的權重。這個增大或減小的幅度就根據上面的式子來計算。
(5)有導師學習算法：BP算法
採用BP學習算法的前饋型神經網絡通常被稱爲BP網絡。
圖8. 三層BP神經網絡結構
BP網絡具有很強的非線性映射能力，一個3層BP神經網絡能夠實現對任意非線性函數進行逼近（根據Kolrnogorov定理）。一個典型的3層BP神經網絡模型如圖8所示。
第二節、神經網絡實現
首先先將一些基本的知識用於理解網絡：
關於BP網絡的整體簡述
BP神經網絡，全程爲前饋神經網絡，它被用到監督學習中的主體思想是（我們假定我們這裏各個層Layer次間採用的是全鏈接）： 通過各個Layer層的激勵和權值以及偏置的處理向前傳遞，最終得到一個預期的值，然後通過標籤值和預期的值得到一個殘差值，殘差值的大小反映了預期值和殘差值的偏離程度，然後使用反向傳播算法（見下文），然後對上一層的推倒公式進行梯度（就是對應每一個變量x1,x2,x3,x4,x5，.....,xn求解偏導，見下文）求解，然後代入各個變量x，得到各個變量x 當前層Layer對應的權值w'(這個w'其實就是當前w偏離真實的w的殘差值)，然後依次的向上一層反向傳播，最終到達Input層，這時候我們會就會得到各個層Layer相對應的權值w的偏離值，然後我們可以設定一個學習率（在caffe中是用l_r表示的），也就是步長，來設置我們參數更新的大小其實就是各個層layer當前的權值w加上對應的w的偏離值乘上這個步長即 w+=w‘*l_r，這樣就達到了參數的更新，然後通過數次迭代調整好w,b參數，特別需要強調一下的是，b可以是固定的，也可以設置成跟w權值相關的，比如b=w/2 等等,視情況而定。
關於梯度
對於梯度，我們這裏就從這幾個角度進行一下解釋，什麼是梯度，梯度在BP網絡中的作用，或者說爲什麼BP網絡中要採用梯度.
1.1什麼是梯度？
梯度，即求偏導，比如我們有這樣一個函數，f = 2a +3b ,如果我們求解a的梯度，fa = 2,如果我們求解b的梯度，f_b = 3
以上就是對梯度最簡單的描述，那個也是隻有一層神經網絡時的參數求解，但是在實際的網絡模型中，我們基本上不會用那麼簡單的模型，我們一般用層數較多（大於2層的模型進行）的模型來解決我們所面臨的問題，對於多層神經網絡
如圖，這是一個三層的神經網絡
我們一般將其等化成數學中的複合函數，比如上圖中這個三層的（全鏈接的）神經網絡，其實用複合函數的公式表示就是這樣：
對於第一層
f1 = x1*w1_11 + x2*w1_12 +b1_1
f2 = x1*w1_21 + x2*w1_22 +b1_2
f3 = x1*w1_31 + x2*w1_32 +b1_3
然後進入到第二層
f4 = f1*w2_11 + f2*w2_12 + f3*w2_13 + b2_1
f5 = f1*w2_21 + f2*w2_22 + f3*w2_23 + b2_2
然後第三層
f6 = f4*w3_11 + f5*w3_12 + b3_1
這個其實就和 f = (1-x^2)^3 改寫成 g =x^2 , t = 1-x , f = x^3 是一個道理
第一層： g = x^2
第二層： t =1-g
第三層: f = t^3
我們對於這種複合函數求解梯度的步驟，如下：
f' = 3t^2*t' 對t求偏導數
t' = -g' 對g求偏導數
g' = 2x 對x求偏導數
這就是求解梯度的過程，以上就是對於梯度的一個描述
1.2 那麼梯度在BP網路中起到何種作用？
梯度在求解的過程中，其實就是對逐個變量進行求導，比如f =a(bx),我們將其改成複合函數f=ag ,g = bx ,對x進行求導，那麼我們會得到變量的係數. 而我們所做的這一切就是爲了得到這個，得到每一層Layer的各個變量對應的係數，這個係數非常重要，我們來舉個例子說明一下，比如這個函數，f = a(bx),假設我們剛開始的時候隨機的設定一個值給a = 0.23 , b=1 ，x去一系列值[1,2,3],我們都事先知道f的值對應[0.5,1,1.5]，假定我們無法直接計算得到a的值爲0.5，我們來一步步的估算a的，步驟如下：
不妨假定函數的真實值用ft表示，預估值用fp表示，殘差用fre.
當 x = 1 , ft = 0.5
而我們用公式得到fp =0.23 ，fre = ft - fp =0.27,然後得到： are = 0.27*a,注 are爲a的偏差值
，得到bre = b*are=1*0.27*a
然後我們再求解b的更新值 b_n = b + l_r*bre*b（g求關於x的梯度）*1 (l_r爲我們設定的學習率)
再更新 a_n = a + l_r*are*ab(f求關於x梯度的值)*1
這樣 我們就對參數a,b進行了更新.
然後當x =2 ,ft=1 .....依次這樣迭代更新 a,b
我們就是通過這種方式來進行參數更新的....
2 關於梯度的反向傳播.
反向傳播就是將殘差反推到各個參數上，求解各個參數的誤差值，最後在每一個變量的梯度的方向上對誤差進行修正，修正的幅度依據學習率而定.
1. 數據預處理
在訓練神經網絡前一般需要對數據進行預處理，一種重要的預處理手段是歸一化處理。下面簡要介紹歸一化處理的原理與方法。
(1) 什麼是歸一化？
數據歸一化，就是將數據映射到[0,1]或[-1,1]區間或更小的區間，比如(0.1,0.9) 。
(2) 爲什麼要歸一化處理？
<1>輸入數據的單位不一樣，有些數據的範圍可能特別大，導致的結果是神經網絡收斂慢、訓練時間長。
<2>數據範圍大的輸入在模式分類中的作用可能會偏大，而數據範圍小的輸入作用就可能會偏小。
<3>由於神經網絡輸出層的激活函數的值域是有限制的，因此需要將網絡訓練的目標數據映射到激活函數的值域。例如神經網絡的輸出層若採用S形激活函數，由於S形函數的值域限制在(0,1)，也就是說神經網絡的輸出只能限制在(0,1)，所以訓練數據的輸出就要歸一化到[0,1]區間。
<4>S形激活函數在(0,1)區間以外區域很平緩，區分度太小。例如S形函數f(X)在參數a=1時，f(100)與f(5)只相差0.0067。
(3) 歸一化算法
一種簡單而快速的歸一化算法是線性轉換算法。線性轉換算法常見有兩種形式：
<1> y = ( x - min )/( max - min )
其中min爲x的最小值，max爲x的最大值，輸入向量爲x，歸一化後的輸出向量爲y 。上式將數據歸一化到 [ 0 , 1 ]區間，當激活函數採用S形函數時（值域爲(0,1)）時這條式子適用。
<2> y = 2 * ( x - min ) / ( max - min ) - 1
這條公式將數據歸一化到 [ -1 , 1 ] 區間。當激活函數採用雙極S形函數（值域爲(-1,1)）時這條式子適用。
(4) Matlab數據歸一化處理函數
Matlab中歸一化處理數據可以採用premnmx ， postmnmx ， tramnmx 這3個函數。
<1> premnmx
語法：[pn,minp,maxp,tn,mint,maxt] = premnmx(p,t)
參數：
pn： p矩陣按行歸一化後的矩陣
minp，maxp：p矩陣每一行的最小值，最大值
tn：t矩陣按行歸一化後的矩陣
mint，maxt：t矩陣每一行的最小值，最大值
作用：將矩陣p，t歸一化到[-1,1] ，主要用於歸一化處理訓練數據集。
<2> tramnmx
語法：[pn] = tramnmx(p,minp,maxp)
參數：
minp，maxp：premnmx函數計算的矩陣的最小，最大值
pn：歸一化後的矩陣
作用：主要用於歸一化處理待分類的輸入數據。
<3> postmnmx
語法： [p,t] = postmnmx(pn,minp,maxp,tn,mint,maxt)
參數：
minp，maxp：premnmx函數計算的p矩陣每行的最小值，最大值
mint，maxt：premnmx函數計算的t矩陣每行的最小值，最大值
作用：將矩陣pn，tn映射回歸一化處理前的範圍。postmnmx函數主要用於將神經網絡的輸出結果映射回歸一化前的數據範圍。
2. 使用Matlab實現神經網絡
使用Matlab建立前饋神經網絡主要會使用到下面3個函數：
newff ：前饋網絡創建函數
train：訓練一個神經網絡
sim ：使用網絡進行仿真
下面簡要介紹這3個函數的用法。
(1) newff函數
<1>newff函數語法
newff函數參數列表有很多的可選參數，具體可以參考Matlab的幫助文檔，這裏介紹newff函數的一種簡單的形式。
語法：net = newff ( A, B, {C} ,‘trainFun’)
參數：
A：一個n×2的矩陣，第i行元素爲輸入信號xi的最小值和最大值；
B：一個k維行向量，其元素爲網絡中各層節點數；
C：一個k維字符串行向量，每一分量爲對應層神經元的激活函數；
trainFun ：爲學習規則採用的訓練算法。
<2>常用的激活函數
常用的激活函數有：
a) 線性函數 (Linear transfer function)
f(x) = x
該函數的字符串爲’purelin’。
b) 對數S形轉移函數( Logarithmic sigmoid transfer function )
該函數的字符串爲’logsig’。
c) 雙曲正切S形函數 (Hyperbolic tangent sigmoid transfer function )
也就是上面所提到的雙極S形函數。
該函數的字符串爲’ tansig’。
Matlab的安裝目錄下的toolbox\nnet\nnet\nntransfer子目錄中有所有激活函數的定義說明。
<3>常見的訓練函數
常見的訓練函數有：
traingd ：梯度下降BP訓練函數(Gradient descent backpropagation)
traingdx ：梯度下降自適應學習率訓練函數
<4>網絡配置參數
一些重要的網絡配置參數如下：
net.trainparam.goal ：神經網絡訓練的目標誤差
net.trainparam.show ： 顯示中間結果的週期
net.trainparam.epochs ：最大迭代次數
net.trainParam.lr ： 學習率
(2) train函數
網絡訓練學習函數。
語法：[ net, tr, Y1, E ] = train( net, X, Y )
參數：
X：網絡實際輸入
Y：網絡應有輸出
tr：訓練跟蹤信息
Y1：網絡實際輸出
E：誤差矩陣
(3) sim函數
語法：Y=sim(net,X)
參數：
net：網絡
X：輸入給網絡的Ｋ×N矩陣，其中K爲網絡輸入個數，N爲數據樣本數
Y：輸出矩陣Q×N，其中Q爲網絡輸出個數
(4) Matlab BP網絡實例
我將Iris數據集分爲2組，每組各75個樣本，每組中每種花各有25個樣本。其中一組作爲以上程序的訓練樣本，另外一組作爲檢驗樣本。爲了方便訓練，將3類花分別編號爲1，2，3 。
使用這些數據訓練一個4輸入（分別對應4個特徵），3輸出（分別對應該樣本屬於某一品種的可能性大小）的前向網絡。
clc
close all
clear
data = xlsread('Iris.csv');
% 打亂數據
flag = length(data);
order = randperm(flag);
nbertrain = round(0.7*flag);% 提取訓練和驗證數據 70% 訓練，30% 驗證
XTrain = data(order(1:nbertrain),2:5);
YTrain = data(order(1:nbertrain),7);
XValidation = data(order(nbertrain+1:flag),2:5);
YValidation = data(order(nbertrain+1:flag),7);
%特徵值歸一化
[input,minI,maxI] = premnmx( XTrain') ;
%構造輸出矩陣
s = length( YTrain) ;
output = zeros( s , 3 ) ;
for i = 1 : s
output( i , YTrain( i ) ) = 1 ;
end
%創建神經網絡
% logsig：對數S形轉移函數；purelin：線性函數
% traingdx ：梯度下降自適應學習率訓練函數
net = newff( minmax(input) , [10 3] , { 'logsig' 'purelin' } , 'traingdx' ) ;
%設置訓練參數
net.trainparam.show = 50 ;
net.trainparam.epochs = 500 ;
net.trainparam.goal = 0.01 ;
net.trainParam.lr = 0.01 ;
%開始訓練
net = train( net, input , output') ;
%測試數據歸一化
testInput = tramnmx ( XValidation' , minI, maxI ) ;
%仿真
Y = sim( net , testInput );
%統計識別正確率
[s1 , s2] = size( Y ) ;
hitNum = 0 ;
for i = 1 : s2
[m , Index] = max( Y( : , i ) ) ;
if( Index == YValidation(i) )
hitNum = hitNum + 1 ;
end
end
sprintf('識別率是 %3.3f%%',100 * hitNum / s2 )
% 定製開發需求：qq 1762016542
(5)參數設置對神經網絡性能的影響
在實驗中通過調整隱含層節點數，選擇不通過的激活函數，設定不同的學習率，
<1>隱含層節點個數
隱含層節點的個數對於識別率的影響並不大，但是節點個數過多會增加運算量，使得訓練較慢。
<2>激活函數的選擇
激活函數無論對於識別率或收斂速度都有顯著的影響。在逼近高次曲線時，S形函數精度比線性函數要高得多，但計算量也要大得多。
<3>學習率的選擇
學習率影響着網絡收斂的速度，以及網絡能否收斂。學習率設置偏小可以保證網絡收斂，但是收斂較慢。相反，學習率設置偏大則有可能使網絡訓練不收斂，影響識別效果。