2020.05.23日常總結

$\color{green}{\texttt{洛谷P1392\ \ 取數}}$

$\color{blue}{\texttt{【題意】：}}$

• 在一個 $n \times m$ 的數陣中，你須在每一行取一個數（共 $n$ 個數），並將它們相加得到一個和。
• 對於給定的數陣，請你輸出和前 $k$ 小的取數方法。
• $1 \leq n \leq 800,1 \leq k \leq m \leq 800$。

$\color{blue}{\texttt{【思路】：}}$

我國偉大的數學家華羅庚說過：“退，足夠地退，退到最原始而不失重要性的地方，那是學號數學的一個訣竅。”

這句話意思是當我們想不出正解時，我們可以先考慮這題的簡化形式，然後再逐步轉移到正解。這句話當然也可以用到 $\texttt{OI}$ 上，比如這題。

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$\color{red}{\texttt{簡化情況}}$

我們先考慮 $n=2$ 時的情況。即兩行的數列分別爲 $\texttt{a,b}$。

首先將 $\texttt{a,b}$ 從小到大排序，這樣做可以簡化我們對問題的處理（這也是一個非常常用的技巧）。

如何求 $n=2$ 時的解呢？我們枚舉 $i,j$，表示我們考慮將 $a_i+b_j$ 加入我們的候選隊列中，分情況討論：

• 當候選隊列內元素不到 $k$ 個時，直接把 $a_i+b_j$ 加入候選隊列。
• 當候選隊列內元素等於 $k$ 個時，我們先把 $a_i+b_j$ 加入候選隊列，然後，因爲我們要維護候選隊列內元素個數 $\leq k$ 個，所以，我們把最大的數給刪除掉。

考慮如何快速地維護上述操作。我們發現，我們可以用一個 大根堆 維護這個所謂的候選隊列。爲什麼是大根堆？因爲用大根堆可以很方便地刪除最大的元素。

這樣，我們就搞定了 $n=2$ 時的情況。

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$\color{red}{\texttt{回到原題}}$

如何從 $n=2$ 的情況轉移到 $n>2$ 時的情況呢？

很簡單，我們把前 $2$ 行的答案放入一個數組 $c$ 中，把第 $i$ 行（$i$ 表示當前處理的行號）的數放入數組 $d$ 中。然後就回到了 $n=2$ 時的情況。

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$\color{blue}{\texttt{【代碼】：}}$

struct Big_Root_Heap{
	int t[83000],hsze;
	inline void init_heap(){
		memset(t,0,sizeof(t));
		hsze=0;//清空大根堆
	}
	inline void push(int x){
		t[++hsze]=x;int now=hsze,nxt;
		while ((now>>1)>=1){
			nxt=now>>1;//nxt爲now的父親
			if (t[now]<t[nxt]) break;
			else swap(t[now],t[nxt]);
			now=nxt;//迭代計算
		}
	}//在大根堆中加入一個元素
	inline void pop(){
		t[1]=t[hsze];hsze--;
		register int now=1,nxt;
		while ((now<<1)<=hsze){
			nxt=now<<1;//nxt爲now的兒子
			if (nxt<hsze&&t[nxt+1]>t[nxt]) nxt++;
			if (t[now]>t[nxt]) break;
			else swap(t[now],t[nxt]);
			now=nxt;
		}
	}//在大根堆中刪除最大值（即根）
	inline int size(){return hsze;}
	inline int top(){return t[1];}
}q;int n,m,k,a[830],b[830];
inline void calc_first_kth(){
	q.init_heap();//先清空堆,避免組間的影響 
	sort(b+1,b+m+1);//再將數組排序,方便處理 
	for(int i=1;i<=k;i++) q.push(a[1]+b[i]);
	for(int i=2;i<=k;i++)        //先枚舉a[i] 
		for(int j=1;j<=k;j++)    //再枚舉b[j] 
			if (a[i]+b[j]<q.top()){//可以加入 
				q.pop();//先把原堆中最大的元素輸出 
				q.push(a[i]+b[j]);//再將a[i]+b[j]加入 
			}
			else break;//否則,直接進入下層循環，優化，否則TLE 
	for(int i=1;i<=k;i++) a[k-i+1]=q.top(),q.pop();
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	sort(a+1,a+m+1);//排序 
	for(int i=2;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++)
			scanf("%d",&b[j]);
		calc_first_kth();
	}
	for(int i=1;i<=k;i++)
		printf("%d ",a[i]);
	return 0;
}

幾個需要注意的地方：
1. 這道題不能用 STL，否則會 TLE，必須手寫大根堆
2. 建議大家把數據結構分裝到一個結構體或類中，如果需要用到多個同一數據結構時，優勢明顯。
3. calc_first_kth() 中的 else break 不能少，否則會 TLE
4. 本程序沒有反作弊系統