點積和叉積在計算機圖形學的應用

點積和叉積在計算機圖形學中，是最爲基礎且重要的概念，初學者弄清它的概念的應用，是很重要的。最後一節，是爲了加強理解記錄，如果不看也是可以的，大家選擇觀看，有興趣可以去看原視頻，結合我的筆記。

前置知識

1. 列向量
   以下均採用列向量的表示方法，和線性代數書本上的行向量不同，採用列向量表示，則表達爲列向量左乘矩陣，只是定義的不同，其他含義沒有什麼不同。列向量寫法如下：
   $\overrightarrow{a} = \left( \begin{gathered} \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \end{gathered} \right)$

2. 單位化
   將向量的各分量除以向量的模即得單位向量，單位指模爲1的向量。

3. 向量加減法的幾何意義
   

4. 行列式
   行列式在數學中，是一個函數，其定義域爲det的矩陣A，取值爲一個標量，寫作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面積（二維）或體積（三維）的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣。

點積

點積在數學中，又稱數量積（dot product; scalar product），是指接受在實數R上的兩個向量並返回一個實數值標量的二元運算。它是歐幾里得空間的標準內積。點積的結果是一個數。

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \left| a \right| \left| b \right| cos {\theta}$

相當於a向量的轉置矩陣乘以向量b：
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}^T \overrightarrow{b}$

以二維向量爲例：
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = {x_{a}\choose y_{a}}^T {x_{a}\choose y_{b}} = x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b}$

幾何意義

a向量在b向量上投影的長度 乘以 b向量的長度（模）就是 點積的結果。
點乘是存在交換律的，所以也等同於：
b向量在a向量上投影的長度 乘以 a向量的長度就是 點積的結果。

在圖形學的應用

1. 求兩個向量的夾角
   當$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$都是單位向量（單位化），兩個向量點積就是$\cos {\theta}$，在通過$\arccos$ 就可以求出夾角。

2. 求投影
   將$\overrightarrow{a}$單位化，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$就是$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的投影長度。
   《計算機圖形學》書上有這麼一個舉例，利用投影將向量w分解成兩個向量和：
   

3. 比較兩個向量的接近程度（方向上）
   也就是向量是否兩個向量間的夾角大小，在聚光燈的效果計算中，可以根據點積來得到光照效果，如果點積越大，說明夾角越小，則物體離光照的軸線越近，光照越強。
   也常會用來判斷兩向量是否爲同方向：
   

舉個例子

判斷一個點是都在某圖形內：

叉積

向量積，數學中又稱外積、叉積，物理中稱矢積、叉乘，是一種在向量空間中向量的二元運算。與點積不同，它的運算結果是一個向量而不是一個標量。並且兩個向量的叉積與這兩個向量和垂直。
$\left| \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \right| = \left| v \right| \left| w \right| sin {\theta}$
這隻確定了叉積的長度，衆所周知向量有長度，還有方向的，方向爲垂直於兩個向量的方向，但是呢，垂直方向有兩個。
這裏我們採用右手螺旋定則確定方向。v到w的方向就是右手四指彎曲的方向，大拇指的方向就是叉積的方向。

二維向量的叉積是個標量，看起來違背了定義，先假設二維向量得出來的叉積是z，如果把二維向量看作成z軸值恆爲0的三維向量，它們的叉積就$(0,0,z)^T$，三維空間被壓縮成了二維，叉積就只是一個標量了。

$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} = x_vy_w - y_vx_w$

三維向量的叉積的結果是個向量：

$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} = \left( \begin{gathered} \begin{matrix} y_v z_w - z_v y_w \\ z_vx_w - x_vz_w \\ x_vy_w - y_vx_w \end{matrix} \end{gathered} \right)$
這個看起來很難記憶，我們隨後再講解。444額方法

幾何意義

在二維空間，兩個向量叉積就是兩向量形成的平行四邊形的面積，正負要引入Z軸，由右手螺旋定則確定，如果大拇指指向Z正軸就爲正，反之爲負；
在三維空間，兩個向量叉積就是垂直於兩向量形成的平面的向量（稱爲法向量）採用右手螺旋定則確定方向。v到w的方向就是右手四指彎曲的方向，大拇指的方向就是叉積的方向。

座標系的問題

如果我們已知x座標軸和y座標軸，可以推導出z座標軸。可能大家都聽說過有左手座標系和右手座標系這兩種說法，可以用x、y軸叉積與z軸的關係確定。
右手座標系：
$\overrightarrow{x} \times \overrightarrow{y} = \overrightarrow{z}$
左手座標系：
$\overrightarrow{x} \times \overrightarrow{y} = -\overrightarrow{z}$

在圖形學的應用

1. 二維空間判斷左右

2. 三維空間求法向量
   法向量在計算圖形學的應用很廣泛，很多地方都會利用到，比如求已知入射角度$\overrightarrow{OB}$求一個平面的反射角度$\overrightarrow{BP}$。取平面上不共線的三個點ABC，求得法線
   $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{Z} （法線）$

$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{Z}$

再舉個例子

判斷一個點是都在某圖形內

以線性變換去看點乘和叉乘

這部分我是基於B站的一部分的視頻總結的，如果覺得作者講解不夠好，可以去看原視頻。

點乘

先來看兩向量的點乘另一種求法，a向量的轉置矩陣乘以向量b：
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}^T \overrightarrow{b}$
以二維空間爲例，定義兩個基向量組成的矩陣

$\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)= 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$
點乘就是從二維空間到數軸的線性變換，將空間投影到給定的數軸來定義。
$\overrightarrow{a}^T$矩陣作用就是，將基變量在$\overrightarrow{a}$上投影爲兩個數字，而不是向量，將此作爲基變量去做線性變換，從而進行空間壓縮。

叉乘

截了視頻的兩張圖，

$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array} \right]$表示一個隨機變量，也可理解爲一個爲向量的變量。
上圖是一個變量爲向量的函數。根據v w 可以求常量 p

有沒有覺得$\overrightarrow{p}$與$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$ 叉積一模一樣，我們從幾何空間聯繫下它們。

先看左邊，$\overrightarrow{p}$與隨機變量的點積，其實就隨機變量在$\overrightarrow{p}$的投影長度，再乘以$\overrightarrow{p}$的模。

再看看右邊，是一個行列式，表示這三個向量組成的立方體的體積大小。

我們再回顧下，體積的求法，高✖️底面積（u v 組成底面）

高爲隨機變量在平面垂直方向的投影長度。

然後回想下，叉積的定義，模長爲兩向量組成的平面面積，且爲這個平面的法線。

$\overrightarrow{p}$ 和 這個叉積是不是就聯繫上了。

字醜的那些圖都是我畫的，除了一張小手手，請各位見諒，最後感謝我的首席插畫師 yc君 畫的那種小手手的插圖，O(∩_∩)O哈哈~。