統計信號處理基礎 - 估計與檢測理論 估計部分習題3.7公式推導

題目

相信學習信號檢測與估計的童鞋們肯定看到過Steven M.Kay大牛的書，非常厚的一本，不得不說，人家的書就是寫得好，淺顯易懂（當然是要從頭把基礎的東西都掌握了），在估計部分第三章中例題3.4中遇到了下面這個公式，在習題3.7中要求證明，首先看題目
$\frac{1}{N}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\cos (4\pi {f_0}n + 2\phi ) \approx 0}$
要使上式成立，${f_0}$必須滿足以下條件${f_0} \ne 0,\quad {f_0} \ne 1/2$

證明

令$\alpha = 4\pi {f_0},\quad \beta = 2\phi$
則$\begin{array}{l} \frac{1}{N}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\cos (\alpha n + \beta )} = \frac{1}{N}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\sum\limits_n {{e^{j(\alpha n + \beta )}}} } \right)\\ = \frac{1}{N}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{e^{j\beta }} \cdot \frac{{1 - {e^{j\alpha N}}}}{{1 - {e^{j\alpha }}}}} \right)\\ = \frac{1}{N}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{e^{j\beta }} \cdot \frac{{{e^{j\alpha N/2}}}}{{{e^{j\alpha /2}}}} \cdot \frac{{{e^{ - j\alpha N/2}} - {e^{j\alpha N/2}}}}{{{e^{ - j\alpha /2}} - {e^{j\alpha /2}}}}} \right)\\ = \frac{1}{N}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{e^{j\beta }} \cdot \frac{{{e^{j\alpha N/2}}}}{{{e^{j\alpha /2}}}} \cdot \frac{{{e^{ - j\alpha N/2}} - {e^{j\alpha N/2}}}}{{{e^{ - j\alpha /2}} - {e^{j\alpha /2}}}}} \right)\\ = \frac{1}{N}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{e^{j\beta }} \cdot {e^{j\alpha \frac{{N - 1}}{2}}} \cdot \frac{{\sin (\alpha N/2)}}{{\sin (\alpha /2)}}} \right)\\ = \frac{{\sin (\alpha N/2)}}{{N\sin (\alpha /2)}} \cdot \cos \left( {\alpha \frac{{N - 1}}{2} + \beta } \right) \end{array}$

結論

當$\alpha \ne 0,\;\alpha \ne 2\pi時，即 {f_0} \ne 0,\quad {f_0} \ne 1/2時，原式約爲0。$

得證