1. 階梯型矩陣
若矩陣A滿足兩條件:(1)若有元素全爲0的行,則該行應在最下邊(2)非0行的第一個非0元素的列標號隨行號的增加而增加,那麼矩陣A爲階梯型矩陣,例如:
2. 行簡化階梯型矩陣
若矩陣A滿足兩條件:(1)矩陣A爲階梯型矩陣(2)非0首元(非0行的首個非0元素)所在的列,除了非0首元外,其它元素全爲0,那麼矩陣A爲行簡化階梯型矩陣,例如:
3. 行最簡化階梯型矩陣(reduced row echelon form)
若矩陣A滿足兩條件:(1)矩陣A爲行簡化階梯型矩陣(2)非0首元都爲1,那麼矩陣A爲行最簡化階梯型矩陣,例如:
非0首元爲1時,又稱主元(pivot entry),和主元相結合的變量稱爲主變量,其餘變量爲自由變量
4. 階梯型矩陣實際用途
在矩陣的實際用途一文中已經說明了矩陣的實際用途,但是如果未知數個數多於方程個數,那麼方程組可能有無數解,例如,在四維空間中,方程組的解爲一個平面,或者在三維空間中,方程組的解爲一根直線,平面或直線都是無數個解。下面舉一個例子,假設有一個方程組:
其中,未知數的個數爲4,方程的個數爲3,初步判斷,該方程組有無數解,我們使用矩陣法求解該線性方程組,步驟如下:
1. 從線性方程組創建係數矩陣
2. 增廣係數矩陣
此時,矩陣A就是線性方程組的另一種寫法
3. 使用高斯消去法將增廣矩陣轉化爲行最簡化階梯型矩陣
4. 用行最簡化階梯型矩陣重寫線性方程組
其中, 和 爲主變量, 和 爲自由變量
5. 用自由變量來表示主變量
自由變量可以取任何值,通過自由變量求出主變量
6. 擴展線性方程組
7. 用向量形式表示擴展後的線性方程組
從向量形式可以看出,後兩個向量的線性組合將擴展成一個平面,因此方程組的解爲一個平面