前言
當代科技最核心的器件是什麼？答案毋庸置疑，激光器。那麼你瞭解激光嗎？本文將從最本質的角度帶你深入瞭解激光的形成，以及諧振腔如何影響激光的能量分佈。
激光形成的簡述
無論什麼樣的激光器都必須在諧振腔內產生激光，一方面是不斷給諧振腔充能，另一方面是使用光子去誘發一個同頻率光子的產生，此後越來越多的光子(並且是同頻率同相位的)在激光器的諧振腔內往復運動，進而激光的能量也就越來越大，然後選擇在某一瞬間釋放這股能量，這就是我們所看到的激光。
因此，激光的能量分佈(術語稱之爲激光的橫模模式)也是受諧振腔的影響而相應變化的。
程序
下面兩個程序用簡單的方法實現仿真，算法的時間複雜度極高，且沒有在編程技巧上進行改進，因此需要運行較長時間。在最後，我改進了變成技巧，加速了程序的運行。初寫這類仿真程序時，用的是matlab。然而離開學校以後，價格高昂的matlab軟件不再能使用。因此，用Python補充這些程序。如果有讀者想要討論電磁場理論相關的物理學或者編程以及數學，我的郵箱是[email protected]。
python程序
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#利用python仿真雙縫實驗
#程序再版與2019/1/5，初版寫於2017年12月
#作者：cclplus
#僅供學習交流使用
#如有疑問或者需求，可以聯繫作者[email protected]
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import math
n=int(50) #方鏡上點的個數
rd=0.005#方鏡的邊長——單位m
ld=1.0 #確定諧振腔的腔長
#假設起始時光強處處相等
I=np.ones((n,n),float)
#這是一個需要長時間運行的程序
for t in range(30):
In=np.zeros((n,n),float)
for i in range(n):
for j in range(n):
for i1 in range(n):
for j1 in range(n):
In[i][j]=In[i][j]+1.0/(4.0*math.pi)*I[i1][j1]*\
(1.0+ld/math.sqrt((rd/float(n)*(i1-i))**2+\
(rd/float(n)*(j1-j))**2+ld**2))\
/float(n)/float(n)
I=In*[1.0]
S_I=sum(sum(I[i]) for i in range(len(I)))
mul=float(n)*float(n)/S_I
I*=[mul]
I*=I
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
X=range(n)
Y=range(n)
ax.plot_surface(X, Y, I, rstride=1, cstride=1, cmap='rainbow')
plt.show()
matlab程序
%作者：cclplus
%時間:2017年12月
clc
clear all;
close all;
%%%%%以下程序用於建立反射鏡的模型top
%%%方形鏡
n=50;%取點,確定精度
rd=0.005;%確定方形鏡的邊長
ld=1;%確定諧振腔的長度
%%%%以上程序用於建立反射鏡的模型bottom
I=ones(n,n);%假設初始光強處處相等
for t=1:50
In=zeros(n,n);
for i=1:n
for j=1:n
for i1=1:n
for j1=1:n
In(i,j)=In(i,j)+1/(4*pi)*I(i1,j1)*(1+ld/sqrt((rd/n*(i1-i))^2+(rd/n*(j1-j))^2+ld^2))*1/2500;
end
end
end
end
I=In;
end
%%%bottom
S_I=sum(sum(In)');
multipe=n^2/S_I;
I=multipe.*In;
%當找到有一組不符合的數據，即可跳出
%繪製圖像
x=1:n;
y=1:n;
I=I.^2;
surf(x,y,I);
shading interp
axis equal
##實驗結果圖
受衍射的影響，激光的能量逐漸集中
對程序的改進
我想有的人通過Python執行這段程序的時候，估計要懷疑計算機死機了，這確實是個問題，我在第一次寫作時確實是等待了很長的運行時間，然後再把圖片保存下來。
想要改進這個程序，需要採用動態鏈接庫(dll)的方法
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#利用python仿真雙縫實驗
#程序再版與2019/1/5，初版寫於2017年12月
#作者：cclplus
#僅供學習交流使用
#如有疑問或者需求，可以聯繫作者[email protected]
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import math
from ctypes import *
#dll = cdll.LoadLibrary('laser.dll');
dll=WinDLL('laser.dll')
class StructPointer(Structure):
_fields_ = [("arr", c_double * 2500)]
def __init__( self ):
for i in range(2500):
self.arr[i]=0.0
dll.laser_mode.restype = POINTER(StructPointer)
n=c_long(50) #方鏡上點的個數
n_b=int(50)
k=c_long(30)
#ccl=np.ones((n,n),float)
ccl=StructPointer()
#dll.hello()
ccl=dll.laser_mode(n,k)
I=np.zeros((n_b,n_b),float)
for i in range(n_b):
for j in range(n_b):
I[i][j]=ccl.contents.arr[i*n_b+j]
X=range(n_b)
Y=range(n_b)
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.plot_surface(X,Y,I, rstride=1, cstride=1, cmap='rainbow')
plt.show()
想要獲取更詳細的相關資料可以訪問我的github主頁https://github.com/YuruTu/laser
算法上的改進
一力降十會，在絕對力量的面前，再多的技巧也只能黯然失色。很多時候改進算法纔是改良計算機程序的根本。個人認爲真正的簡化這個過程在於數學公式的推導。曹三鬆在《穩定腔激光模式理論的再研究》中推導了這個過程，並得出結論
共焦腔鏡面上激光場振幅的表達式爲
|_{mn}=C_{mn}H_{m}\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda L}x}H_{n}\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda L}y}\times exp[-\frac{\pi}{\lambda L}(-x^{2}-y^{2}])
其中 C表示歸一化係數，H表示Hermite多項式
光強I正比於光場振幅的平方
對推導過程持懷疑態度的讀者可以聯繫本文作者cclplus，我會竭力爲您解答
以下代碼爲小斐而寫（如果有需要，我可以把這個程序打包成GUI模式）
#寫作時間：2019年2月26日
#爲小斐而寫
#作者cclplus
import sympy#sympy的安裝過程特殊，必須通過先在官網下載.gz文件
import matplotlib.pyplot as plt
import math
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
eps = 0.001
#定義一個函數用於求Hermite多項式的平方值
#往後求導過程比較繁瑣，暫不加以推廣
def heimite(n,x):
if n==0:
return 1
elif n==1:
return 4.0*x*x
elif n==2:
return (4.0*x*x-2.0)*(4.0*x*x-2.0)
elif n==3:
return (12.0*x-8.0*x**3.0)**2.0
else:
print("暫時不支持計算比3更大的Hermite多項式的平方值\n\
聯繫作者獲得相關支持")
if __name__ == "__main__":
#沒有用上全部參數,但也足以說明問題
num_plot = 200
m = 3
n = 3
R=np.zeros((num_plot,num_plot),float)
for i in range( num_plot):
for j in range( num_plot):
x =float(i-num_plot/2)/float(num_plot/10)
y =float(j-num_plot/2)/float(num_plot/10)
R[i][j] =heimite(m,x)*heimite(n,y)*sympy.exp(-2.0*x*x-2.0*y*y)
fig = plt.figure()
X=range(num_plot)
Y=range(num_plot)
plt.contourf(X, Y, R, 8, alpha = 0.75, cmap = plt.cm.hot)
plt.show()
結果
