PRML第 47 頁損失函數中交叉項爲什麼會消失--計算過程

在PRML的第一章1.5.5節，計算關於損失函數過程中，根據原文得到如下內容：

其中有一下推導過程：

文中只用一句話描述了爲什麼交叉項會消失，”Substituting into the loss function and performing the integral over t, we see that the cross-term vanishes and we obtain an expression for the loss function in the form”.
那麼具體是怎麼的過程呢？我們單獨把交叉項拿出來：

2{y(x)−E[t|x]}{E[t|x]−t}$$2\{y(x)-E[t|x]\}\{E[t|x]-t\}$$

帶入loss function 中，並對t進行積分，這裏我們先對t積分，不考慮對x的積分。得到如下公式：

∫2{y(x)−E[t|x]}{E[t|x]−t}×p(x,t)dt$${\int }_{}^{}2\{y(x)-E[t|x]\}\{E[t|x]-t\}\times p(x,t)dt$$

可以知道，積分的左邊因子是關於x的函數，對t的積分來說只是一個常數，可以放在積分的外面，只考慮積分內的內容：

∫2{E[t|x]−t}×p(x,t)dt$${\int }_{}^{}2\{E[t|x]-t\}\times p(x,t)dt$$

由於p(x,t)=p(t|x)p(x)$p(x,t)=p(t|x)p(x)$ 可以得到如下公式

∫2{E[t|x]−t}×p(t|x)p(x)dt$${\int }_{}^{}2\{E[t|x]-t\}\times p(t|x)p(x)dt$$

同樣的將p(x)提到積分號外面，並不考慮，可以得到

∫E[t|x]×p(t|x)dt−∫t×p(t|x)dt$${\int }_{}^{}E[t|x]\times p(t|x)dt-{\int }_{}^{}t\times p(t|x)dt$$

一樣的trick ,E[t|x]$E[t|x]$ 是關於x的函數，放在積分號的外面，∫p(t|x)dt=1${\int }_{}^{}p(t|x)dt=1$ ，所以第一項爲 E[t|x]$E[t|x]$ 。另外根據定義，文中的公式1.89同樣給出。可以第二項爲得到:

∫t×p(t|x)dt=E[t|x]$${\int }_{}^{}t\times p(t|x)dt=E[t|x]$$

結合交叉所有的內容：

{E[t|x]−E[t|x]}×p(x)×2{y(x)−E[t|x]}$$\{E[t|x]-E[t|x]\}\times p(x)\times 2\{y(x)-E[t|x]\}$$

所以交叉項爲0，不會在x的積分內容中出現。
個人推理，如有問題，歡迎指出！
以上！