1 最小二乘法
參考 http://www.cnblogs.com/iamccme/archive/2013/05/15/3080737.html
https://blog.csdn.net/yhao2014/article/details/51491413
1.1 解釋“最小二乘法”
我們以最簡單的一元線性模型來解釋最小二乘法。什麼是一元線性模型呢？ 監督學習中，如果預測的變量是離散的，我們稱其爲分類（如決策樹，支持向量機等），如果預測的變量是連續的，我們稱其爲迴歸。迴歸分析中，如果只包括一個自變量和一個因變量，且二者的關係可用一條直線近似表示，這種迴歸分析稱爲一元線性迴歸分析。如果迴歸分析中包括兩個或兩個以上的自變量，且因變量和自變量之間是線性關係，則稱爲多元線性迴歸分析。對於二維空間線性是一條直線；對於三維空間線性是一個平面，對於多維空間線性是一個超平面...
對於一元線性迴歸模型,假設從總體中獲取了n組觀察值（X1，Y1），（X2，Y2）， …，（Xn，Yn）。對於平面中的這n個點，可以使用無數條曲線來擬合。要求樣本回歸函數儘可能好地擬合這組值。綜合起來看，這條直線處於樣本數據的中心位置最合理。 選擇最佳擬合曲線的標準可以確定爲：使總的擬合誤差（即總殘差）達到最小。有以下三個標準可以選擇，以確定直線位置：
（1） “殘差和最小”
缺點是“殘差和”之間存在相互抵消的問題，會影響最終的“殘差和”
（2） “殘差絕對值和最小”
缺點是絕對值在計算上比較麻煩，增加了計算複雜度
（3） “殘差平方和最小”
這個思想就是“最小二乘法”的原則，既可以避免殘差之間互相抵消的問題，也可以降低計算複雜度。這種方法對異常值十分敏感
使用最多的是“普通最小二乘法OLS（Ordinary Least Square）”：其迴歸模型應該能夠使得訓練集的“殘差平方和”達到最小。Q爲殘差平方和-代價函數，也叫平方損失函數
1.2 最小二乘法的定義：
對於給定的數據，在取定的假設空間H中，求解h(x)∈H，使得殘差的最小，即
1.3 最小二乘法的解
從幾何上講，就是尋找與給定點距離平方和最小的曲線y=h(x)。h(x)稱爲擬合函數或者最小二乘解，求解擬合函數h(x)的方法稱爲曲線擬合的最小二乘法
h(x)一般情況下是一條多項式的曲線：
這裏h(x,w)是一個n次多項式，w是其參數。也就是說，最小二乘法就是要找到這樣一組
1.4 求解最小二乘法
以一個比較簡單的線性函數舉例：
求解最小二乘法實質就是找出這麼一組w，使得殘差平方和最小
這裏令
這裏的Q(w)即爲我們要進行最優化的風險函數。這是一個典型的求解極值的問題，只需要分別W0，W1對求偏導數，然後令偏導數爲0，即可求解出極值點，即：
1.5 python實現
# _*_ coding: utf-8 _*_
import numpy as np # 引入numpy
import scipy as sp
import pylab as pl
from scipy.optimizeimport leastsq # 引入最小二乘函數
n = 9 # 多項式次數
# 目標函數y=sin(2πx)
def real_func(x):
return np.sin(2 * np.pi * x)
# 多項式函數
def fit_func(p, x):
f = np.poly1d(p)
return f(x)
# 殘差函數
def residuals_func(p, y,x):
ret =fit_func(p, x) - y
return ret
x = np.linspace(0, 1,9) # 隨機選擇9個點作爲x
x_points =np.linspace(0, 1, 1000) # 畫圖時需要的連續點
y0 = real_func(x) # 目標函數
y1 =[np.random.normal(0, 0.1) + y for y in y0] # 添加正太分佈噪聲後的函數
p_init =np.random.randn(n) # 隨機初始化多項式參數
plsq =leastsq(residuals_func, p_init, args=(y1, x))
print 'FittingParameters: ', plsq[0] # 輸出擬合參數
pl.plot(x_points,real_func(x_points), label='real')
pl.plot(x_points,fit_func(plsq[0], x_points), label='fitted curve')
pl.plot(x, y1, 'bo',label='with noise')
pl.legend()
pl.show()