非對稱加密算法 RSA

$7^4 mod 12$ 很好算
但 $7^x mod 12 = 8$ ,$x$ 如何求就比較複雜，特別是當是數字特別大時，求離散對數非常困難耗時。
RSA 加密就是利用的這點。

在 RSA 加密中，明文/密鑰/密文 都是數字。
RSA 加密可以用下面公式來概括：
$密文 = 明文^E mod N$
”E 和 N 的組合“就是公鑰。

解密可以用下面的這個公式來概括：
$明文 = 密文^D mod N$
所以 ”D 和 N的組合“ 就是私鑰。

如何計算得到 N E D

1 求 N

1. 隨機獲取兩個大質數：$p$、$q$。
2. $N = p * q$

2 求 L （在生成密鑰對過程中使用）

L 是 $p - 1$ 和 $q - 1$ 的最小公倍數。$L = lcm(p - 1, q - 1)$

3 求 E

E 與 L 的關係：
$1 < E < L$
$gcd(E, L) = 1$ (E 和 L 的最大公約數 是 1， 這是爲了保證存在解密時用到的數 D)
可以用僞隨機數生成器產生候選數，然後使用 輾轉相除法 判斷是否滿足 $gcd(E, L) = 1$ 。

4 求 D

數 D　是根據數　E　計算得到的。D 、E、L 之間滿足下列關係
$1 < D < L$
$E * D mod L = 1$

實例

生成密鑰對

1> p = 17, q = 19 那麼 N = 323
2>
$L = lcm(p - 1, q - 1)$
$= lcm(16, 18)$
$= 144 $
3> E 要滿足 $gcd(E, L) = 1$，那麼 E 有很多可取的 比如 5、7、等 ，這裏取 E = 7
4> D 要滿足 $E * D mod L = 1$ ， D = 103
$E * D mod L = 7 * 103 mod 144$
$= 721 mod 144$
$= 1$
此時便得到了密鑰對：
公鑰：E = 7 N = 323
私鑰：D = 103 N = 323

加密

要加密的明文必須是小於 $N$ 的數，也就是小於 323 的數。這裏假設明文是 250， 公鑰 $ E = 7$ 、$N = 323$， 帶入公式:
$明文^E mod N = 250^7 mod 323 = 211$
因此密文就是 211。

解密

對密文 211 解密。私鑰是：$D = 103$、$N = 323$。
$密文^D mod N = 211^{103} mod 323 = 250$
得到明文 250。