01揹包模板及其優化

///01揹包問題基礎解法，時間空間間複雜度均爲O(V*N);
///獨有功能 查詢最優解情況
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn = 105;
int dp[maxn][maxn];//dp[i][j]表示將前i件物品裝進j容量的最大收益
int c[maxn];//儲存物品體積（花費）
int w[maxn];//儲存物品價值
int n,v;
bool item[maxn];//儲存最優解情況

void findWhat(int i, int j) {//最優解情況
	if (i >= 0) {
		if (dp[i][j] == dp[i - 1][j]) {
			item[i] = 0;
			findWhat(i - 1, j);
		}
		else if (j - w[i] >= 0 && dp[i][j] == dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]) {
			item[i] = 1;
			findWhat(i - 1, j - w[i]);
		}
	}
}

int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&v)){
        memset(dp,0,sizeof dp);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d%d",c+i,w+i);
        }

        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=v;j++){
            //for(int j=v;j>0;j--){//兩種寫法均可
                if(j<c[i])dp[i][j]=dp[i-1][j];//裝不下第i件物品
                //其實這條語句爲第三種寫法的優化本質
                else//對比裝下第i件物品和不裝下第i件物品
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-c[i]]+w[i]);
            }
        }
//        for(int i=1;i<=n;i++){
//            for(int j=1; j<=v; j++)
//                printf("%2d ",dp[i][j]);
//            cout<<endl;
//        }//輸出dp表

        printf("%d\n",dp[n][v]);//輸出將n件物品裝進v容量最大收益
    }

    return 0;
}



///01揹包問題優化
///空間複雜度降低爲O(V);
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn = 105;
int dp[maxn];//dp[j]表示將前i件物品裝進j容量的最大收益
int c[maxn];//儲存物品體積（花費）
int w[maxn];//儲存物品價值
int n,v;

int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&v)){
        ///兩種初始化方式，第一種是要求揹包必須裝滿
        //第一種dp[0]=0,其餘初始化爲INT_MIN
        //此時dp[j]表示將前i件物品裝滿j容量的最大收益
        //原理在於i遞增時，若恰好裝滿，j-c[i]=0
        //此時dp[j-c[i]]+w[i]爲有效值（dp[0]=0）
        ///fill(dp,dp+maxn,-0x3f3f3f3f);
        ///dp[0]=0;
        //第二種全部初始化爲0
        //此時只要能裝進揹包dp[j-c[i]]+w[i]就爲有效值
        ///memset(dp,0,sizeof dp);

        memset(dp,0,sizeof dp);

        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d%d",c+i,w+i);
        }

        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=v;j>0;j--){//改爲逆序
                //以保證dp[v]由dp[i-1][v-c[i]]推導得到
                //而不是由dp[i][v-c[i]]推導得到
                if(j>=c[i])//能裝下第i件物品
                //對比裝下第i件物品和不裝下第i件物品
                    dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);
            }
        }
        for(int j=1; j<=v; j++)//輸出dp表
            printf("%2d ",dp[j]);
        cout<<endl;

        printf("%d\n",dp[v]);//輸出將n件物品裝進v容量最大收益
    }

    return 0;
}

/*測試樣例
5 10
1 2
5 10
3 2
9 9
2 1
第一種初始化：13
第二種初始化：14
*/


///01揹包問題再優化
///一個常數優化
///v大於所有物體體積之和的情況直接輸出總價值
///同時第二重循環的下限改爲j>=c[i]
///此時dp最終表未改變
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn = 105;
int dp[maxn];
int c[maxn];
int w[maxn];
int n,v;
int sumc;
int sumw;

int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&v)){
        sumw=sumc=0;
        memset(dp,0,sizeof dp);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d%d",c+i,w+i);
            sumc+=c[i];
            sumw+=w[i];
        }

        if(v>sumc){printf("%d\n",sumw);continue;}
        for(int i=1;i<=n;i++){
            ///優化，當j的值小於c[i]時裝不下c[i]故不用考慮
            //本條優化爲第一種寫法的if判斷句
            for(int j=v;j>=c[i];j--){
                if(j>=c[i])
                    dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);
            }
        }

        printf("%d\n",dp[v]);
    }

    return 0;
}