r個桶數量的DGIM算法的錯誤率上限

r個桶數量的DGIM算法的錯誤率上限

當允許具有相同大小的桶的數目是1或者2時，錯誤率上限爲50%

故對相同大小的桶的數目,令其爲 r-1 或者 r ，對於最大桶和最小桶則數目可以爲1~r間的任意一個數。

桶合併規則爲：如果大小爲 $2^j$ 的桶的數目爲r+1,則將最左邊的兩個桶合併爲一個 $2^{j+1}$大小的桶，如果可以繼續合併則繼續合併直至不能合併。

故當最左邊的桶中僅有一個1在查詢範圍內時，錯誤率相對來說是最大的，此時查詢結果被高估。假設最左邊的桶大小爲 $2^j$ ,則真實的查詢結果至少 (這裏用"至少"是指這裏假設大小爲$2^j$的桶僅有一個，且右邊的桶數量都是r-1,實際上可以有更多，這樣真實查詢結果會更大，錯誤率將更低，爲了計算上限在此取最少) 應該是：

$1+(r-1)(2^{j-1}+2^{j-2}+...+1)=1+(r-1)(2^j-1)$

由於在此處高估了 $2^{j-1}-1$ 個,

錯誤率爲: $\frac{2^{j-1}-1}{1+(r-1)(2^j-1)}<=\frac{2^{j-1}-1}{(r-1)(2^j-1)}=\frac{1}{r-1}$

故錯誤率上界爲 $\frac{1}{r-1}$ ,因此只要令r足夠大，便可以將錯誤率降至夠低，複雜度會增大。