多重揹包問題(二進制拆分)

多重揹包問題描述：

  有$N$種物品，第$i$種物品的體積是$c_i$，價值是$w_i$,每種物品的數量都是有限的，爲$n_i$。現有容量爲$V$的揹包，求在總體積不超過$V$的條件下，使得揹包的總價值最大。

樸素算法:

  將第$i$類物品的$n_i$個物品拆分，得$\Sigma{n_i}$個物品，即將原問題轉換爲了01揹包問題，時間複雜度爲$O(V\times\Sigma{n})$。
  也可以在轉移的過程中枚舉$k$，表示第$i$種物品選取的數量。$dp[i][v]=max(dp[i-1][v-k*c_i]+k*w_i),0\leq{k}\leq{n_i}$
時間複雜度爲$O(V\times\Sigma{n})$。

優化(二進制拆分):

二進制拆分：

  一個數$n$可以拆分爲$x$個數字，分別爲
        $2^0,2^1,2^2,...,2^{k-1},n-2^{k}+1,\text{其中}k\text{是滿足}n-2^k+1>0的最大整數。$
  滿足使得這$x$個數可以組合成任意小於等於$n$的數。

  由$n-2^k+1>0$，移項，兩邊同時取數，得$k<log(n+1)$,即拆分得的數字個數$x$$=\lfloor{log(n+1)}\rfloor$。

$e.g.$ 7的二進制 7 = 111 分解所得的 $001,010,100$這三個數可以組合成任意小於等於7 的數，每種組合都會得到不同的數。15 = 1111 可分解成$0001,0010,0100,1000$四個數字，這四個數字進行組合也可以得到1-15之間的任一個數值。

優化：

將第$i$種物品的$n_i$個物品進行二進制拆分，得到得到拆分後的$x$個物品，分別爲$(c_i,w_i),(2\times c_i,2\times w_i),(4\times c_i,4\times w_i),...,(2^{x-1}\times c_i,2^{x-1}\times w_i),((n-2^x+1)\times c_i,(n-2^x+1)\times w_i)$。
$e.g.$當$n$爲13時，$x=\lfloor{log(13+1)}\rfloor=3$,故拆分成$1,2,4,6$,根據二進制的性質，$1\sim13$都可以由$1,2,4,6$這四個數字組合得到。

例題:平分娃娃

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
int m[7];
int w[14*6+1];
int dp[420001];
int main()
{
	int V=0;
	int t=1;
	int j;
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(int i=1;i<=6;i++){
		cin>>m[i];
		V+=m[i]*i;
		int k=log2(m[i]+1);
		for(j=0;j<=k-1;j++){
			w[t++]=i*pow(2,j);	
		} 
		w[t++]=i*(m[i]-pow(2,k)+1);
	} 
	if(V%2==0){
	for(int i=1;i<=t-1;i++){
		for(int j=V;j>=w[i];j--){
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+w[i]);					
		}
	}
	if(dp[V/2]==V/2){
		cout<<"Can be divided.\n";
		}
	else{
		cout<<"Can't be divided.\n";
		}
	}
	else{
		cout<<"Can't be divided.\n";
	}
    return 0;
}