Codeforces932G Palindrome Partition【迴文樹DP（附border的若干證明）】

洛谷鏈接

PS：下面的圖截自skyh的PPT 水題再選講，先Orz爲敬。

弱週期引理

長度大於等於一半的串的匹配形成等差數列

長度大於等於|S|/2的border長度形成等差數列

迴文串的迴文後綴(border)長度可以表示成log個等差數列

本題做法

考慮這麼做的正確性，（以下只討論$len[fail[x]]\ge len[x]/2$的情況，若小於$1/2$顯然構不成等差數列，直接繼承是對的）。
我們繼承$g[fail[x]]$，實際上是想繼承 $i-d$ 位置的值，而$fail[x]$一定對應第 $i-d$ 位置嗎？
如果在 $(i-d,i)$ 這個區間中出現了 $fail[x]$ 對應的串，由引理1，$fail[x]$ 這個串在 $x$ 中的匹配一定構成等差數列，而 $fail[x]$ 在 $x$ 的開頭出現了，所以可以找到 $x$ 的一個比 $len[x]-len[fail[x]]$ 更小的週期，這與 $fail[x]$ 是最大border矛盾，所以繼承不會出錯。

而引理2,3則保證了本題的複雜度爲$O(n\log n)$

順帶一提，爲了方便轉移，$g[x]$實際上是存的當前等差數列除了開頭一項的貢獻，即：

Code：咕咕咕