公式推導
Hmmlearn
GaussianHMM
GMMHMM
MultinomialHMM
股票走勢預測
特徵準備
建立模型
可視化短線預測
參考資料
HMM
公式推導
在 HMM 中，有兩個基本假設：
齊次 Markov 假設（未來只依賴於當前）：
觀測獨立假設：
HMM 要解決三個問題：
Evaluation：，Forward-Backward 算法
Learning：，EM 算法（Baum-Welch）
Decoding：，Vierbi 算法
預測問題：
濾波問題：
Evaluation
根據齊次 Markov 假設：
所以：
又由於：
於是：
我們看到，上面的式子中的求和符號是對所有的觀測變量求和，於是複雜度爲 。
下面，記 ，所以， 。我們看到：
對 ：
利用觀測獨立假設：
上面利用了齊次 Markov 假設得到了一個遞推公式，這個算法叫做前向算法。
還有一種算法叫做後向算法，定義 ：
對於這個 ：
於是後向地得到了第一項。
Learning
爲了學習得到參數的最優值，在 MLE 中：
我們採用 EM 算法（在這裏也叫 Baum Welch 算法），用上標表示迭代：
其中， 是觀測變量， 是隱變量序列。於是：
這裏利用了 無關。將 Evaluation 中的式子代入：
對 ：
上面的式子中，對 求和可以將這些參數消掉：
上面的式子還有對 的約束 。定義 Lagrange 函數：
於是：
對上式求和：
所以：
Decoding
Decoding 問題表述爲：
我們需要找到一個序列，其概率最大，這個序列就是在參數空間中的一個路徑，可以採用動態規劃的思想。
定義：
於是：
這個式子就是從上一步到下一步的概率再求最大值。記這個路徑爲：
Hmmlearn
hmmlearn中有三種隱馬爾可夫模型:GaussianHMM、GMMHMM、MultinomialHMM。它們分別代表了觀測序列的不同分佈類型。
GaussianHMM
適合用於可見層狀態是連續類型且假設輸出概率符合Gaussian分佈的情況
class hmmlearn.hmm.GaussianHMM(n_components=1, covariance_type='diag',min_covar=0.001,
startprob_prior=1.0, transmat_prior=1.0, means_prior=0,
means_weight=0,covars_prior=0.01,covars_weight=1,
algorithm='viterbi',random_state=None, n_iter=10, tol=0.01,
verbose=False, params='stmc', init_params='stmc')
參數:
n_components：整數，指定了隱藏層結點的狀態數量。
covariance_type：字符串，輸出概率的協方差矩陣類型。可選值：
'spherical'：球面協方差矩陣，即矩陣對角線上的元素都相等，且其他元素爲零
'diag'：對角協方差矩陣，即對角線元素可以是任意值，其他元素爲零。
'full'：完全矩陣，即任意元素可以是任意值。
'tied'：所有狀態都是用同一個普通的方差矩陣。
min_covar：浮點數，協方差矩陣中對角線上的最小數值，該值設置得越小模型對數據的擬合就越好，但更容易出現過度擬合。
startprob_prior：數組，形狀爲(n_components, )。初始狀態的先驗概率分佈。
transmat_prior：數組，形狀爲(n_components, n_components )。先驗的狀態轉移矩陣。
means_prior,means_weight：先驗隱藏層均值矩陣。
covars_prior、covars_weight：先驗隱藏層協方差矩陣
algorithm：字符串，指定了Decoder算法。可以爲 'viterbi'（維特比算法）或者'map'，map比viterbi更快速但非全局最優解。
random_state：隨機種子，用於在Baum-Welch算法中初始化模型參數。
n_iter:Baum-Welch算法最大迭代次數。該值越大，訓練模型對數據的擬合度越高，但訓練耗時越長。
tol：指定迭代收斂閾值。該值越小(必須＞=0),訓練模型對數據的擬合度越高，但訓練耗時越長。
verbose：是否打印Baum-Welch每次迭代的調試信息
params：字符串,在訓練過程中更新哪些HMM參數。可以是四個字母中的任意幾個組成的字符串。
's'：初始概率。
't'：轉移概率。
'm'：均值。
'c'：偏差。
init_params：字符串,在訓練開始之前使用哪些已有概率矩陣初始化模型。
's'：初始概率。
't'：轉移概率。
'm'：均值。
'c'：偏差。
屬性：
n_features：整數，特徵維度。
monitor_：ConvergenceMonitor對象，可用它檢查EM算法的收斂性。
transmat_：矩陣，形狀爲 (n_components, n_components)，是狀態之間的轉移概率矩陣。
startprob_：數組，形狀爲(n_components, )，是初始狀態的概率分佈。
means_：一個數組，形狀爲(n_components,n_features )，每個狀態的均值參數。
covars_：數組，每個狀態的方差參數，其形狀取決於方差類型：
'spherical'：形狀爲(n_components, ) 。
'diag'：形狀爲(n_components,n_features ) 。
'full'：形狀爲(n_components, n_features, n_features) 。
'tied'：形狀爲(n_features,n_features ) 。
方法：
decode(X, lengths=None, algorithm=None)：已知觀測序列X尋找最可能的狀態序列。
logprob：浮點數，代表產生的狀態序列的對數似然函數。
state_sequence：一個數組，形狀爲(n_samples, )，代表狀態序列。
X：array-like，形狀爲 (n_samples, n_features)。指定了觀測的樣本。
lengths：array-like，形狀爲 (n_sequences, )。指定了觀測樣本中，每個觀測序列的長度，其累加值必須等於n_samples 。
algorithm：字符串，指定解碼算法。必須是'viterbi'（維特比）或者'map'。
參數：
返回值：
fit(X, lengths=None)：根據觀測序列 X，來訓練模型參數。
在訓練之前會執行初始化的步驟。如果你想避開這一步，那麼可以在構造函數中通過提供init_params關鍵字參數來避免。
參數：X，lengths 參考 decode() 方法。
返回值：self對象。
predict(X, lengths=None)：已知觀測序列X，尋找最可能的狀態序列。
參數：X，lengths 參考 decode() 方法。
返回值：數組，形狀爲(n_samples, )，代表狀態序列。
predict_proba(X, lengths=None)：計算每個狀態的後驗概率。
參數：X，lengths 參考 decode() 方法。
返回值：數組，代表每個狀態的後驗概率。
sample(n_samples=1, random_state=None)：從當前模型中生成隨機樣本。
X：觀測序列，長度爲n_samples 。
state_sequence：狀態序列，長度爲n_samples 。
n_samples：生成樣本的數量。
random_state：指定隨機數。如果爲None，則使用構造函數中的random_state。
參數：
返回值：
score(X, lengths=None)：計算預測結果的對數似然函數。
參數：X，lengths 參考 decode() 方法。
返回值：預測結果的對數似然函數。
GMMHMM
混合高斯分佈的隱馬爾可夫模型，適合用於隱藏層狀態是連續類型且假設輸出概率符合GMM 分佈（Gaussian Mixture Model，混合高斯分佈）的情況
原型
hmmlearn.hmm.GMMHMM(n_components=1,n_mix=1,startprob_prior=1.0,transmat_prior=1.0,
covariance_type='diag', covars_prior=0.01, algorithm='viterbi',
random_state=None,n_iter=10,tol=0.01, verbose=False,
params='stmcw',init_params='stmcw')
大部分參數與GaussianHMM中的含義一樣，不再重複說明，不同點有如下兩個:
n_mix：整數，指定了混合高斯分佈中高斯分佈的數量，如果n_min等於1，則GMMHMM退化爲GaussianHMM。
means_prior,means_weight,covars_prior,covars_weight：這四個參數雖然名稱與GaussianHMM一致，但其維數隨着n_mix的設置而不同。
屬性：
n_features：整數，特徵維度。
monitor_：ConvergenceMonitor對象，可用它檢查EM算法的收斂性。
transmat_：矩陣，形狀爲 (n_components, n_components)，是狀態之間的轉移概率矩陣。
startprob_：數組，形狀爲(n_components, )，是初始狀態的概率分佈。
gmms_：列表，指定了每個狀態的混合高斯分佈的分模型。
方法：參考hmmlearn.hmm.GaussianHMM 。
MultinomialHMM
多項式分佈的隱馬爾可夫模型,適合用於可見層狀態是離散類型的情況。
原型爲：
class hmmlearn.hmm.MultinomialHMM(n_components=1, startprob_prior=1.0, transmat_prior=1.0,
algorithm='viterbi', random_state=None, n_iter=10,tol=0.01,
verbose=False, params='ste', init_params='ste')
參數：整數，參考hmmlearn.hmm.GaussianHMM。
屬性：
n_features：一個整數，特徵維度。
monitor_：一個ConvergenceMonitor對象，可用它檢查EM算法的收斂性。
transmat_：一個矩陣，形狀爲 (n_components, n_components)，是狀態之間的轉移概率矩陣。
startprob_：一個數組，形狀爲(n_components, )，是初始狀態的概率分佈。
emissionprob_：一個數組，形狀爲(n_components, n_features)，每個狀態的發射概率。
方法：參考hmmlearn.hmm.GaussianHMM 。
# MultinomialHMM案例
import numpy as np
from hmmlearn import hmm
# 發射概率
emission_probability = np.array([
[0.4,0.3,0.3], # 晴:打球,讀書,訪友
[0.2,0.3,0.5], # 陰:打球,讀書,訪友
[0.1,0.8,0.1] # 雨:打球,讀書,訪友
])
# 轉移概率
transition_probability = np.array([
[0.7,0.2,0.1],# 晴 陰 雨
[0.3,0.5,0.2],# 陰
[0.3,0.4,0.3] # 雨
])
# 定義隱藏層各狀態的初始概率 晴、陰、雨
start_probability = np.array([0.5,0.3,0.2])
# 建模
model = hmm.MultinomialHMM(n_components=3) # 3種可見層狀態
model.startprob_ = start_probability
model.transmat_ = transition_probability
model.emissionprob_ = emission_probability
# 0爲打球，1爲讀書，2爲訪友
observe_chain = np.array([0,2,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,1,0]).reshape(-1,1)
# 0爲晴，1爲陰，2爲雨
model.predict(observe_chain)
array([0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0])
股票走勢預測
本案例從雅虎金融網站獲取真實的歷史交易數據，訓練並分析歷史走勢，嘗試尋找出歷史走勢規律以預測未來。下面通過用HMM模型來預測走勢規律
HMM 時間軸：由於數據模型是日交易信息，所以本模型的時間軸以日爲單位，即每一天是一個HMM狀態結點。
可見層特徵：選取數據文件中的兩個重要數據作爲可見層特徵，即收盤漲跌值、交易量。因爲這些屬性爲連續值，所以選用Gaussian模型。收盤漲跌值特徵並未在數據模型中直接體現，它要通過計算前後兩天收盤價的差值獲得
隱藏層狀態：定義三種狀態，對應於漲、平、跌。
預測方式：通過查看隱藏層轉換矩陣的轉換概率，根據最後一個結點的隱藏狀態預測未來一天的漲跌可能。
隱藏層的漲跌狀態只受當天及之前表示層特徵的影響，所以其本身並不能決定下一天的走勢。而要預測下一天的隱藏層狀態，需要結合轉換概率矩陣進行分析。
from datetime import datetime
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.dates import DayLocator
from hmmlearn.hmm import GaussianHMM
import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")
%matplotlib inline
data = pd.read_csv("sample_stock.csv")
print(data.shape)
data.head()
(1258, 7)
原始數據是以日爲單位的某股票基礎交易數據，各屬性列表示:
日期
開盤價
當日最高價
當日最低價
收盤價
調整收盤
當日交易量
# 日期格式轉換
data['Date'] = pd.to_datetime(data['Date'], format = "%d/%m/%Y", errors = 'coerce')
data.info()
data.head()
<class 'pandas.core.frame.DataFrame'>
RangeIndex: 1258 entries, 0 to 1257
Data columns (total 7 columns):
Date 1258 non-null datetime64[ns]
Open 1258 non-null float64
High 1258 non-null float64
Low 1258 non-null float64
Close 1258 non-null float64
Adj Close 1258 non-null float64
Volume 1258 non-null int64
dtypes: datetime64[ns](1), float64(5), int64(1)
memory usage: 68.9 KB
特徵準備
日期和交易量去除第一天的數據,因爲第一天會被用來計算第二天的漲跌值特徵，所以馬爾可夫鏈實際是從第二天開始訓練的。
dates = data['Date'].values[1:]
close_v = data['Close'].values
volume = data['Volume'].values[1:]
# 計算數組中前後兩個值差額
diff = np.diff(close_v)
close_v = close_v[1:]
X = np.column_stack([diff,volume])
X.shape
(1257, 2)
建立模型
n_components 參數指定了使用3個隱藏層狀態
covariance_type定義了協方差矩陣類型爲對角線類型，即每個特徵的高斯分佈有自己的方差參數，相互之間沒有影響
n_iter參數定義了Baum-Welch的最大迭代次數
model = GaussianHMM(n_components=3, covariance_type="diag",n_iter=1000)
model.fit(X)
GaussianHMM(algorithm='viterbi', covariance_type='diag', covars_prior=0.01,
covars_weight=1, init_params='stmc', means_prior=0, means_weight=0,
min_covar=0.001, n_components=3, n_iter=1000, params='stmc',
random_state=None, startprob_prior=1.0, tol=0.01,
transmat_prior=1.0, verbose=False)
print("Means and vars of each hidden state")
means_ = []
vars_ = []
for i in range(model.n_components):
means_.append(model.means_[i][0])
vars_.append(np.diag(model.covars_[i])[0])
print("第{0}號隱藏狀態".format(i))
print("mean = ", model.means_[i])
print("var = ", np.diag(model.covars_[i]))
print()
Means and vars of each hidden state
第0號隱藏狀態
mean = [-6.63217241e-03 5.88893426e+04]
var = [4.84610308e-02 4.85498280e+08]
第1號隱藏狀態
mean = [-7.25238348e-02 4.22133974e+05]
var = [1.10870852e+00 1.09613199e+11]
第2號隱藏狀態
mean = [4.41582696e-02 1.42342273e+05]
var = [1.42504830e-01 3.27804399e+09]
因爲可見層輸入採用了兩個輸入特徵（漲跌幅、成交量），所以每個結點有兩個元素，分別代表該狀態的漲跌幅均值、成交量均值。
由於系統的目標預測漲跌幅，所以這裏只關心第一個特徵的均值，有如下結論：
狀態0的均值是-6.63217241e-03，約爲−0.00663，認爲該狀態是“平”。
狀態1的均值是4.41582696e-02，約爲0.044（漲4分錢），得知該狀態是“漲”。
狀態2的均值是-7.25238348e-02，約爲−0.072（跌7分錢），得知該狀態是“跌”。
由漲跌幅特徵的方差，可以得到的信息爲：
狀態“平”的方差爲4.84610308e-02，是三個狀態中方差最小的，也就是說該狀態的預測非常可信。
狀態“漲”的方差爲1.42504830e-01，可信度居中。
狀態“跌”的方差爲1.10870852e+00，是三個狀態中方差最大的，即該狀態的變化範圍較大，並非很可信。
print("Transition matrix")
print(model.transmat_)
Transition matrix
[[0.82001546 0.01739021 0.16259432]
[0.03793618 0.22931597 0.73274785]
[0.23556112 0.04332874 0.72111014]]
第一行最大的數值是0.82001546，因此“平”傾向於保持自己的狀態，即第二天仍舊爲“平”。
第二行最大的數值是0.72111014，得知“漲”後第二天傾向於變爲“漲”。
根據第三行狀態，“跌”後第二天仍舊傾向於“漲”。
根據以上轉換概率，可以看出該股票的長線態勢是非常看好的。
可視化短線預測
X = X[-26:]
dates = dates[-26:]
close_v = close_v[-26:]
hidden_states = model.predict(X)
hidden_states
array([0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,
2, 2, 2, 2])
means_
[-0.0066321724101716766, -0.07252383481726057, 0.044158269609221555]
vars_
[0.048461030777305854, 1.1087085156561962, 0.1425048299475001]
model.transmat_
array([[0.82001546, 0.01739021, 0.16259432],
[0.03793618, 0.22931597, 0.73274785],
[0.23556112, 0.04332874, 0.72111014]])
# 計算當前狀態後一天的預測均值
predict_means = []
predict_vars = []
for idx, hid in enumerate(range(model.n_components)):
comp = np.argmax(model.transmat_[idx]) # 最可能的第二天狀態
predict_means.append(means_[comp])
predict_vars.append(vars_[comp])
print('predict_means',predict_means)
print('predict_vars',predict_vars)
predict_means [-0.0066321724101716766, 0.044158269609221555, 0.044158269609221555]
predict_vars [0.048461030777305854, 0.1425048299475001, 0.1425048299475001]
# 畫圖
fig, axs = plt.subplots(model.n_components + 1, sharex=True, sharey=True,figsize=(10,10))
for i, ax in enumerate(axs[:-1]):
ax.set_title("{0}th hidden state".format(i))
# Use fancy indexing to plot data in each state.
mask = hidden_states == i
yesterday_mask = np.concatenate(([False], mask[:-1]))
if len(dates[mask]) <= 0:
continue
if predict_means[i] > 0.01:
# 上漲預測
ax.plot_date(dates[mask], close_v[mask], "^", c="#FF0000")
elif predict_means[i] < -0.01:
# 下跌預測
ax.plot_date(dates[mask], close_v[mask], "v", c="#00FF00")
else:
# 平
ax.plot_date(dates[mask], close_v[mask], "+", c="#000000")
# locate specified days of the day
ax.xaxis.set_minor_locator(DayLocator())
ax.grid(True)
ax.legend(["Mean: %0.3f\nvar: %0.3f" % (predict_means[i], predict_vars[i])],
loc='center left',
bbox_to_anchor=(1, 0.5))
# 打印真實走勢,用作對比
axs[-1].plot_date(dates, close_v, "-", c='#000000')
axs[-1].grid(True)
box = axs[-1].get_position()
axs[-1].set_position([box.x0, box.y0, box.width * 0.8, box.height])
ax.xaxis.set_minor_locator(DayLocator())
# 調整格式
fig.autofmt_xdate()
plt.subplots_adjust(left=None, bottom=None, right=0.75, top=None,
wspace=None, hspace=0.43)
plt.show()
由圖可知，這個月中大部分隱藏狀態是“平”或者“漲”，其中“漲”的數量更多，由最下方真實走勢圖可見當月結果確實爲上漲。最後一天的結點落在了“2th hidden state”中，其預測狀態爲上漲（均值爲0.044，方差爲0.143）。
參考資料
從機器學習到深度學習
hmmlearn文檔
統計學習方法
END
最後說個題外話，相信大家都知道視頻號了，隨着灰度範圍擴大，越來越多的小夥伴都開通了視頻號。小詹也開通了一個視頻號，會分享互聯網那些事、讀書心得與副業經驗，歡迎掃碼關注，和小詹一起向上生長！「沒有開通發佈權限的儘量多互動，提升活躍度可以更快開通哦」