本篇是壽命預測系列的第二個案例，在看這篇之前可以先看一下這裏。
使用退化模型進行機電產品剩餘壽命預測在工程應用中比較常見，退化模型法又有着幾種不同的具體形式，博主見到比較多的包括基於隨機過程的退化模型、基於時間序列方法的退化模型以及基於線性/指數形式的退化模型。其中線性/指數模型最爲簡單，在MATLAB的相關文檔[1]中也是以該類型模型作爲例子的，所以本篇將對此模型的案例進行介紹。
額外提一句，基於時間序列的方法主要包括神經網絡的方法（LSTM用的比較多）和ARIMA的方法。這兩個方法在之前的博文中有所提及：
Mr.括號：使用ARMA做時間序列預測全流程（附MATLAB代碼）
隨機過程方法以後有機會的話再寫吧。
好了，現在開始。
1.案例描述
數據集是由Annual Conference of the Prognostics and Health Management Society[2]提供的公開數據集，從由20齒的小齒輪驅動的2MW的風力渦輪機高速軸收集。
連續50天每天採集6秒振動信號，在50天時間裏，一個內圈發生故障並導致軸承故障。
下圖爲這總共300秒振動數據的可視化結果，其中每個顏色段代表了一天的數據。
2.數據分析
繪製原始數據的譜峭度(spectral kurtosis)，並對數據進行分析。譜峭度的物理含義是能夠描述信號在頻率f處偏離高斯的程度，偏離高斯越大，譜峭度的值就越大。該特徵值對信號中的瞬態成分十分敏感。
繪製譜峭度隨時間和頻率的變化如下圖。
從圖中可以看出，大約在10kHz處譜峭度處於峯值，且隨着時間的推移逐漸增大。譜峭度的統計特徵，如平均值、標準差等將是描述退化的潛在指標[3]。
3.特徵提取
特徵提取是建立退化模型前關鍵的一步，通常在特徵提取之前，還會對數據進行一些預處理工作，比如模態分析、濾波等，由於該例子中原始數據類型簡單、退化特徵較爲明顯，所以沒有進行這些工作。
所謂特徵提取，就是用某種量化的特徵值對目標信號的退化特徵進行表徵，通常會使用一些時域參數來表示。常用的時域參數在之前的文章中有所介紹：
在該案例中，使用到的特徵包括原始信號的："Mean"; "Std"; "Skewness"; "Kurtosis"; "Peak2Peak","RMS"; "CrestFactor"; "ShapeFactor"; "ImpulseFactor"; "MarginFactor"; "Energy"。
以及譜峭度的："Mean"; "Std"; "Skewness"; "Kurtosis"。
共計15中特徵值，分別對每天的數據求取這15中特徵值，可以得到一張大小爲50*15的特徵表。表格中的部分數據如下：
4.特徵值後處理
如前所述，該案例中沒有進行預處理操作，不過在這裏加入了後處理以削減噪聲等干擾的影響。在特徵值後處理中採用了滑動平均濾波器對退化數據進行平滑處理。下圖爲某特徵值(譜峭度的均值)在使用濾波前後的對比圖。需要注意的是，滑動平均會一定程度上引入信號延遲。
5.選定訓練集
選取前20天的數據（生命週期的前40%）作爲訓練集。在進行特徵值重要性排序和融合時使用的是訓練集數據。
6.特徵值重要性排序
對於選取的15組特徵值，其表徵退化的能力是不同的，我們需要對錶徵能力強的特徵值進行篩選。
在這裏，我們選擇單調性作爲量化指標：
式中，n爲測量點數目，在本案例中n=50。m是對象產品個數，在本例中m=1。 ![[公式]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly93d3cuemhpaHUuY29tL2VxdWF0aW9u?x-oss-process=image/format,png)
經過量化後，排序靠前的特徵值如下圖所示：
可見峭度的效果最好。我們選取單調性值大於0.3的5種特徵值用於下一步的特徵融合。
7.降維和特徵融合
使用主成分分析（PCA）的方法進行降維和特徵融合。不過在進行主成分分析之前，需要對特徵值矩陣進行歸一化。對於PCA如果不太瞭解的話可以看這篇：司南牧：5分鐘理解PCA主成分分析。
將前兩個主成分數據（PCA1、PCA2）進行可視化：
注意右側colorbar中不同顏色代表的是天數，對比PCA1和PCA2，發現PCA1的值隨時間變化的單調性更強。即更能表徵“隨着機器接近故障，成分值增加”的特點。
因而選取PCA1作爲融合後的特徵值，並稱之爲健康指標，用以表徵對象的退化特徵。由該指標表徵的對象產品的退化過程如下圖。
8.建立退化模型並計算RUL
無論是使用隨機過程或者時間序列或者線性/指數模型方法，之前的7個步驟都是通用的。從這步開始才正式引入退化模型。
本案例中使用的是指數退化模型：
其中h(t)爲健康指標，ϕ爲常數項，θ和β爲決定模型斜率的隨機參數，其中θ爲對數正態分佈，β爲高斯分佈。
在進行RUL計算時，選取了第50天的健康指標作爲失效閾值。
RUL迭代計算的步驟如下：
（1）使用已知退化數據（從1天開始）對指數退化模型參數進行估計。
（2）帶入模型參數得到指數模型及其置信區間。
（3）依據失效閾值計算RUL。
（4）更新已知退化數據（從1天更新至49天），重複（1）~（4）。
該迭代的動態過程可以參看下圖，注意看小圖中的圖例。
9.性能分析
用下述兩張圖對指數退化模型計算RUL的性能進行描述：
上圖中，藍線爲真實RUL值，紅線爲RUL預測值，藍色陰影區域爲真實RUL的±20%邊界範圍，紅色陰影區域爲RUL預測值的置信區間。
上圖爲RUL預測值在20%界限內的概率。也就是說當預測區間爲真實RUL±20%範圍內時，預測準確的概率值。
通過上述兩張性能分析圖，可以看出在預測集中（即20天以上的部分），隨着更多的數據點用於擬合，預測將變得更加準確。
不過話說回來，這個使用指數退化模型的預測效果，只能說是差強人意。有興趣的同學可以將第8步中的模型換成其他類型（比如時間序列方法），看看預測效果會不會更好一些。
結語
本篇是機電產品剩餘有效壽命預測的第二篇，爲了閱讀的流暢性，本篇沒有像上一篇那樣貼關鍵代碼。一方面是因爲代碼邏輯比較簡單，另外一方面是數據處理量比較大，直到這篇文寫完程序都還沒有跑完，所以代碼就不往上貼了。有興趣要源碼和數據集的同學可以關注我的公衆號“括號的城堡”，微信號爲“khscience”，回覆“退化模型”就能拿到啦，公衆號裏可能還會有更多有趣的東西分享。
[1]Wind Turbine High-Speed Bearing Prognosis
[2]Acoustics and Vibration Database
[3]Saidi, Lotfi, et al. "Wind turbine high-speed shaft bearings health prognosis through a spectral Kurtosis-derived indices and SVR."Applied Acoustics120 (2017): 1-8.