運籌學那些事，專科學生學習運籌學之網絡計劃技術，No.6

文章目錄

網絡圖

幾個概念需要掌握

網絡計劃

網絡計劃技術也稱統籌法，它是綜合運用計劃評覈術和關鍵線路法的一種比較先進的計劃管理方法

計劃評覈術

對計劃項目進行覈算、評價，然後選定最優計劃方案的一種技術

關鍵線路法

在計劃項目的各項錯綜複雜的工作中，抓住其中的關鍵線路進行計劃安排的一種方法

網絡圖又叫箭頭圖或統籌圖，它是計劃項目的各個組成部分內在邏輯關係的綜合反映，是進行計劃和計算的基礎。也可以說，網絡計劃技術的基礎是網絡圖

網絡圖的分類

網絡圖分爲 箭線式網絡圖 和 結點式網絡圖，分別如下圖所示

箭線式網絡圖（教材核心講解的）

以箭線代表活動（作業），以結點代表活動的開始和完成

結點式網絡圖

以結點代表活動，以箭線式表示各活動之間的先後承接關係

箭線式網絡圖的構成

活動。活動是指作業或工序，用箭線表示，符號爲→，箭線的方向表示活動前進的方向，從箭尾到箭頭表示一項活動的開始到終結的過程。按箭頭的方向，在箭線的左側寫上活動的名稱，右側寫上進行該活動所佔用的時間。
結點。結點是指事項。在網絡圖中，就是兩個活動之間的交接點，用圓圈O表示。一項規劃一般地只有一個總開始（開工）結點和一個總結束（完成）結點。
結點要進行編號，編號的原則是：箭尾結點(i)小於箭頭結點（j）；而且一般採用非連續編號，即可空出幾個號，跳着編，如1,3，5，…這樣結點有增減變化時，可以進行局部改動，不致打亂全部編號。
線路。線路是指從網絡的起點開始，順着箭線的方向，中間經過互相連接的結點和箭線，到網絡終點爲止的一條連線。在一線線路上，把各個活動的作業時間加起來，就是該線路的總作業時間。在所有線路中，總作業時間最長的線路就是關鍵線路，或叫主要矛盾線。關鍵線路決定整個網絡計劃的完工時間
例如，下圖，線路如下：

（1）1->3->13->17->19->21 ====> 2+8+2+6+5
（2）1->3->7->9->11->13->17->19->21 ====> 2+0+4+3+0+2+6+5
（依次類推）

線路的總長度稱爲路長，也就是這條線路上各項活動所需時間的總和。在所有的各條線路的路長中，最長的線路在網絡圖中稱爲關鍵線路。關鍵線路在網絡圖上用雙線或紅線標出。

箭線式網絡圖的繪製

任務分解。任務分解就是把一個計劃項目的總任務分解成一定數量的分任務，並確定它們之間的先後承接關係。
任務分解的原則
（1）工作性質不同或由不同單位執行的工作應分開，如產品設計與工裝設計要分開
（2）同一單位進行的工作，工作時間先後不銜接的要分開，如技術設計與工作圖設計要分開，材料採購與外協件採購要分開
（3）佔用時間，不消耗資源，但影響工程完工日期的工作都應作爲分任務，列入網絡圖

案例（本案例務必學會，自考常考）

2. 畫網絡圖
第一步：先畫出沒有緊接前項活動的A、B，給網絡編號爲1

第二步：在上圖，用一條斜線\消去已畫入網絡圖的活動A、B。在A後面，畫出緊接前項活動爲A的活動E；在B後面，畫出，緊接前項活動爲B的活動D；給新增的結點編號3和5，在A與B的後面，畫出緊接前項活動爲A、B的活動C；注意，畫活動C時要引進虛活動；爲新增的結點編號爲7

第三步：在上圖，用兩條斜線\\消去已畫入網絡圖的活動。查看“某一工程的活動明細表”發現，尚未畫入網絡圖的活動有F，將F畫在緊接前項活動C之後；給新增的結點編號爲9

的四步：在上圖，用三條斜線\\\消去已畫入網絡圖的F、E、D
查看“某一工程的活動明細表”發現尚未畫入網絡圖的活動有G、H，在E、F之後上G，在D、F之後畫上H；注意，這裏需要引入虛活動；給新增的結點編號爲11,13,15

第五步：最終得到的網絡圖如下

虛活動介紹：箭線式網絡圖中，爲了正確反映各個活動之間的邏輯關係，有時需要引進虛活動，虛活動以-->符號表示。虛活動即虛設的活動，它不消耗資源，不佔用時間。
虛活動引進有兩種情況

先後兩個結點之間的工作過程只能代表一項活動，當兩個或兩個以上的活動具有同一個始點和終點時，需要引入虛活動。
爲了正確表示各個活動之間的先後承接關係，有時必須引入虛活動

網絡時間計算

網絡時間的計算有三種計算方法：圖上計算法、表格計算法、矩陣計算法。本節重點介紹圖上計算法

結點符號。圓圈的上半圓表示結點號（第幾個結點）；下半圓左側標註該結點（事項）的最早開始時間值，右側標註該結點的最遲完成時間值

活動最早開始或者最早完成的時間符號。在長方形符號中標以活動最早開始或完成的時間值。該符號放在箭線的上方。在活動的前結點i的右上角或後結點j的左上角畫此符號。

活動最遲完成或最遲開始時間符號。在三角形符號中標以活動最遲完成或最遲開始時間值。

作業時間

作業時間就是在一定的生產技術條件下，完成一項活動或一道工序所需要的時間。符號T_i，j表示i->j這項活動的作業時間。

確定作業時間的方法

單一時間估計法
三種時間估計法
分別爲
a. 最樂觀時間，完成一項活動可能最短的時間
b. 最保守時間，完成一項活動可能最長的時間
m. 最可能時間，在正常條件下，完成該項活動可能性最大的時間。

結點時間

（1）結點（事項）最早開始（或最早完成）時間。
計算每個結點的最早開始時間應從網絡的始點開始（始點的最早開始時間爲0），自左向右，順着箭線的方向，逐個計算，直至網絡的終點。

結點最早開始時間的計算公式如下

ES_j ------> 箭頭結點 j 的最早開始時間
ES_i ------> 箭頭結點 i 的最早開始時間
T_i,j -------> 活動i->j的作業時間
max --------> 表示當通向結點 j 的活動不止一個時，取(ES_i+T_i,j)諸數中最大的一個。這就是說，只有當完成時間最長的活動完成時，結點 j 後面的活動才能開始。

結點時間的計算如下
已知：ES₇ = 3，T_7,9 = 4，T_9,11 = 3
所以：ES₉ = ES₇ + T_7,9 = 3+4 = 7
ES₁₁ = ES₉ + T_9,11 = 7+3 = 10

爲何結點7的最早開始時間是ES₇ = 3

已知：ES₃=2，ES₅=3，T_3,7=0，T_5,7=0
求：ES₇ = ?
結點3—結點7：ES^’₇ = ES₃ + T_3,7 = 2+0 =2
結點5—結點7：ES^’'₇ = ES₅ + T_5,7 = 3+0 =3

所以ES₇ = 3，上面的截圖可繪製成：

（2）結點的最遲完成時間
一個事項最遲完成的時間，就是在這個時期內該事項如果不完成，就要影響緊後的各個工作的按時開工。
終點結點（事項）的最遲完成時間應等於總工期。

因結點不佔用時間，就同一個結點來說，最遲完成時間和最遲開始時間是相同的。

計算每個結點的最遲完成時間是從網絡的終點開始，自右向左，逆着箭線的方向，逐個計算，直至網絡的始點。
結點最遲完成時間的計算公式如下

LF_i -----> 箭尾結點i的最遲完成時間
LF_j -----> 箭頭結點j的最遲完成時間
T_i,j ------> 活動 i-> j 的作業時間
min -------> 表示當從結點 i 開始的活動不止一個時，取諸數中最小的一個。
爲了保證開始時間最早的活動能按時開始工作，要求結點i以前的全部活動最遲必須在這個最早的時間完成。

例題，在下圖中，截取一部分

結合上面已經繪製的圖，上圖可以表示爲

現對上圖進行結點最遲完成時間的計算。
第一種情況：
結點7、結點9和結點11箭線連接部分的結點7和結點9的最遲完成時間的計算：
設已知：LF₁₁ = 10 ,T_9,11 = 3 , T_7,9 = 4
求：LF₉ = ? LF₇ = ?

LF₉ = LF₁₁ - T_9,11 = 10 - 3 = 7
LF₇ = LF₉ - T_7,9 = 7-4 = 3

第二種情況：
結點11和結點13、結點15箭線連接部分的結點11的最遲完成時間的計算

設已知：LF₁₃=15，LF₁₅=10，T_11,15=0，T_11,13=0
求：LF₁₁

結點11->結點15：LF^’₁₁ = LF₁₅-T_11,15 = 10 - 0 = 10
結點11->結點13：LF^’'₁₁=LF₁₃-T_11,13 = 15 - 0 = 15

所以LF₁₁ = 10

結點有時差，最早開始時間和最遲完成時間相等的結點稱爲關鍵點或關鍵事項，將它們按編號順序從始點到終點串聯起來，就是所要尋求的關鍵線路

活動時間（工作的作業時間）

在箭線式網絡圖中，要計算的活動時間有四個，即活動的最早開始時間、最早完成時間、最遲開始時間、最遲完成時間

活動時間的計算要與結點時間的計算結合進行。
活動的最早開始時間、最早完成時間與結點的最早開始時間順着箭線的方向，逐個進行計算。
活動的最遲完成時間、最遲開始時間與結點的最遲完成時間逆着箭線的方向，逐個進行計算。

活動的最早開始時間
活動最早的開始時刻，用ES_i,j表示，即活動 i->j 的最早開始時間。它的計算可以通過結點（事項）的最早開始時間來進行，也可以通過它的緊前活動最早開始時間加上活動的作業時間來進行。計算方向是從左向右逐項活動依次計算。

ES_i,j = ES_i

實際上：某項活動(i->j)的最早開始時間就是它的箭尾結點的最早開始時間。

若用某項活動的最早開始時間加上作業時間來計算時，當遇到有多個緊前活動時，應選用其中最早開始時間加上該項活動的作業時間之和的最大值，即

ES_i,j = max { ES_h,i + T_h,i }

式子中
ES_h,i 爲緊前活動的最早開始時間
T_h,i 爲緊前活動的作業時間

活動的最早完成時間
某項活動的最早完成時間用 EF_i,j表示，其值等於它的最早開始時間ES_i,j加上完成該活動所需的作業時間T_i,j即：

EF_i,j = ES_i,j + T_i,j = ES_i+T_i,j

活動的最遲完成時間
活動的最遲完成時間就是指在這個時間裏活動必須完成，在這時間裏該活動如果不完成，就要影響它的緊後各項活動的按時開始。它的計算公式是：

LF_i,j = LF_j

即，某項活動（如，i->j）的最遲完成時間就是該項活動箭頭結點（事項）的最遲完成時間。
某項活動的最遲完成時間也就是該活動的最遲開始時間加上活動作業時間，即

LF_i,j = LS_i,j + T_i,j

上述式中
LF_i,j 活動 i -> j 最遲完成時間
LF_j 箭頭結點 j 的最遲完成時間
T_i,j 活動 i->j 的作業時間
LS_i,j 活動 i->j 的最遲開始時間

活動的最遲開始時間
活動的最遲開始時間的計算可以通過箭頭結點的最遲完成時間（或活動的最遲完成時間）減去本項互動的作業時間求得

LS_i,j = LF_j - T_i,j = LF_i,j - T_i,j

參照例子

（1）下圖，計算各項活動的最早開始時間

ES_1,3 = 0
ES_1,5 = 0
ES_3,7 = 2
ES_5,7 = 3
…
…
…
依次類推，看下圖
用到的公式
ES_i,j = ES_i
ES_i,j = max { ES_h,i + T_h,i }

（2）計算各項活動的最遲完成時間
EF_1,3 = 2
EF_1,5 = 3
…
…
…
依次類推
用到的公式
EF_i,j = ES_i,j + T_i,j = ES_i + T_i,j

（3）計算各活動的最遲完成時間

根據公式
LF_i,j = LF_j
LF_i,j = LS_i,j + T_i,j
已知：LF₂₁ = 28。
則
LF_19,21 = 28
LF_17,19 = 23
…
…
…

（4）計算各活動的最遲開始時間
自行查閱教材部分即可，只是計算量，無難度

最終，計算完畢之後，會繪製下圖

主要對概念理解清楚，計算熟練即可

網絡時間的表格計算法（自考不考）

圖上計算法，簡單方便，但是當活動數目一多，非常容易計算錯誤，爲了防止出錯，採用表格計算法。

表格計算法步驟

制定表格
填表
活動時間的計算

通過表格計算法最終得到的結果如下

表格計算法也以網絡圖爲基礎，計算起來不及圖上計算法具體清晰，但熟練以後，比較方便，並且適用於計算機計算。

時差和關鍵線路

一個工作或一個工程有時差，表明了有多大的機動時間可以利用。時差越大，則時間的潛力也越大。
也就是說，可以將工作的資源暫時調出去支撐關鍵性線路。
計算和利用時差，是網絡分析中一個重要問題

結點時差

結點時差的計算公式爲

S_i = LF_i - ES_i

結點時差等於0的結點，叫做關鍵結點

活動時差（工序時差）

活動時差有以下四種：總時差S^總_i,j 、專用時差S^專_i,j、局部時差1（S^局1_i,j）、局部時差2(S^局2_i,j)。

活動總時差
S^總_i,j = LF_j - T_i,j - ES_i

E(3->13)的總時差爲

從圖中可以看出，總時差8中，包括三個部分
（1）結點13的時差：S₁₃ = 15 - 10 = 5
時差5周是活動E和緊後活動G的可共用的時差。如果活動E在結點13的最遲完成時間完成，則這部分時差就完全被活動E佔用了
（2）結點3的時差：S₃ = 3 - 2 = 1
這個時差1周是活動E和緊前活動A可以共用的時差。如果活動E在結點3的最早開始時間開始，則這一部分的時差也完全讓給活動E使用了
（3）活動E的專用時差：總時差中減去上述兩部分共用時差，留下的差額就是活動E的專用時差。

總時差等於0的活動稱爲關鍵活動或者關鍵工序。

線段時差

兩個關鍵結點之間的一個活動，或兩個關鍵結點之間的幾個活動連接相接的連線，稱爲線段。

線路時差

線路是從始點出發，經過連續相接的活動，直到終點的一條連線。

從始點出發，由各個關鍵活動連續相接，直到終點的線路稱爲關鍵線路。

線路時差等於等個線段時差之和。

關鍵線路的線路時差等於0 。

最優方案的選擇

最優方案的選擇也就是網絡優化的問題。

網絡計劃優化的內容有以下三個：（1）時間優化（2）時間與資源優化（3）時間與成本優化

基於教材內容，閱讀一遍即可。

自考必備指南

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在自考中，網絡圖必考部分如下，網絡圖，關鍵線路