貪心算法：集合覆蓋問題

貪心算法

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貪心算法是一種解決問題的思路：每一步選擇局部最優解，最終也許不會得到最優結果，但是也會接近最優結果。
貪心算法具有以下特點：

1. 每一步選擇局部最優解；
2. 並非在任何情況下行之有效；
3. 貪心算法簡單易實現；

教室調度問題

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假設有如下課程表，你希望將盡可能多的課程安排在某間教室上：

課程	開始時間	休息時間
美術	9 AM	10 AM
英語	9:30 AM	10:30 AM
數學	10 AM	11 AM
計算機	10:30 AM	11:30 AM
音樂	11 AM	12 PM

你希望在這間教室上儘可能多的課。如何選出儘可能多且時間不衝突的課程呢？貪心算法的做法是：每一步選擇價值回報最大的操作。具體做法如下：

• 選出結束最早的課，它就是要在這間教室上的第一堂課。
• 接下來，必須選擇第一堂課結束後纔開始的課。同樣，你選擇結束最早的課，這將是要在這間教室上的第二堂課。
  重複這樣做就能找出答案！最終選擇的結果如下：

揹包問題

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假設你是個貪婪的小偷，揹着可裝35磅（$1磅≈0.45千克$）重東西的揹包，在商場伺機盜竊各種可裝入揹包的商品。
貪心算法的策略是：

1. 盜竊可裝入揹包的最貴商品；
2. 再盜竊還可裝入揹包的最貴商品，以此類推；

以這種方式可能並不能得到最優解。有時候，你只需找到一個能夠大致解決問題的算法，此時貪婪算法正好可派上用場，因爲它們實現起來很容易，得到的結果又與正確結果相當接近。記住，對有些問題，可能並不存在完美的解，例如 NP 難問題。

集合覆蓋問題

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集合覆蓋問題： 選擇最少的集合，覆蓋全部的元素。
假設你辦了個廣播節目，要讓全美 $50$ 個州的聽衆都收聽得到。爲此，你需要決定在哪些廣播臺播出。在每個廣播臺播出都需要支付費用，因此你力圖在儘可能少的廣播臺播出。現有廣播臺名單如下。

廣播臺	覆蓋的州
(1) KONE	ID，NV，UT
(2) KTWO	WA，ID，MT
(3) KTHREE	OR，NV，CA
(4) KFOUR	NV，UT
(5) KFIVE	CA，ZA

如何找出覆蓋全美 $50$ 個州的最小廣播臺集合呢？
最容易考慮到的可能是暴力求解法：列出每一種可能的廣播集合（可能的子集有 $2^n$個）；在這些集合中選出能覆蓋全美 $50$ 個州的最小集合數。假設每秒可篩選出 $10$ 個子集，其花費的時間如下：

沒有任何算法可以足夠快地解決這個問題！怎麼辦呢？使用貪婪算法可以得到非常接近的解。

1. 選出這樣一個廣播臺，即它覆蓋了最多的未被選擇的州。即便這個廣播臺覆蓋了一些已經選擇的州，也沒有關係；
2. 重複第一步，直到覆蓋了所有的州。

貪婪算法是不錯的選擇，它們不僅簡單，而且通常運行速度很快。在這個例子中，貪婪算法的運行時間爲 $O(n^2)$，其中 $n$ 爲廣播臺數量。

解決上述問題的代碼如下：

• 第一步：準備工作：構建數據結構；
  • 用集合 states_needed 存儲所有的州；
  • 用字典表示電視臺 stations 的覆蓋面；

states_needed = set(['mt', 'wa', 'or', 'id', 'nv', 'ut', 'ca', 'az']) # 包含要覆蓋的州

stations = {} # 存儲電視臺集合
stations["kone"] = set(["id", "nv", "ut"])
stations["ktwo"] = set(["wa", "id", "mt"])
stations["kthree"] = set(["or", "nv", "ca"])
stations["kfour"] = set(["nv", "ut"])
stations["kfive"] = set(["ca", "az"])

final_stations = set() # 存儲最終電視臺的集合

• 第二步：利用貪心算法求解最少的電視臺
  • 選出這樣一個廣播臺，即它覆蓋了最多的未被選擇的州。我們將這個廣播臺存儲在 best_station 中；
  • 重複第一步，直到覆蓋了所有的州。

while states_needed:
    best_station = None # 最佳電視臺:覆蓋了最多未覆蓋的州
    states_covered = set() # 最佳電視臺與未覆蓋州集合的交集
    for station, states in stations.items():
        covered = states_needed & states # 當前廣播臺與未覆蓋州集合的交集
        if len(covered) > len(states_covered):
            states_covered = covered
            best_station = station
    
    states_needed -= states_covered # 更新未覆蓋州的集合
    final_stations.add(best_station) # 添加貪心算法選擇的電臺

最終打印的結果可能如下：

print(final_stations)
# set(['ktwo', 'kthree', 'kone', 'kfive'])

暴力求解算法 和 貪心算法 求解時間對比：

NP完全問題

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什麼樣的問題稱爲 NP 完全問題呢？ 就像集合覆蓋問題一樣，你需要計算所有的解，並從中選擇優的解。NP 完全問題以計算量大無法求得最優解而著稱，貪心策略是解決 NP 完全問題一個很重要且有效的方法。它也許不能得到最優解，但是可以得到最接近最優解的結果。

總結

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1. 貪婪算法尋找局部最優解，企圖以這種方式獲得全局最優解。
2. 對於NP完全問題，還沒有找到快速解決方案。
3. 面臨NP完全問題時，最佳的做法是使用近似算法。
4. 貪婪算法易於實現、運行速度快，是不錯的近似算法。