數據結構與算法 —— 常用時間複雜度與空間複雜度

參考文章：
https://juejin.im/entry/5b38f3b6e51d4558de5c0139
https://blog.csdn.net/zolalad/article/details/11848739

常用數據結構和算法時間複雜度速查表

速查表官網

時間複雜度

常見的算法時間複雜度由小到大依次爲：

Ο(1)＜Ο(logn)＜Ο(n)＜Ο(nlogn)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜…＜Ο(2^n)＜Ο(n!)

Ο(1)

表示基本語句的執行次數是一個常數，一般來說，只要算法中不存在循環語句，其時間複雜度就是Ο(1)

其中Ο(logn)、Ο(n)、 Ο(nlogn)、Ο(n2)和Ο(n3)稱爲多項式時間，計算機科學家普遍認爲（即多項式時間複雜度的算法）是有效算法，

Ο(logn)

如果循環中有二分則爲O(logn), 再一個例子：對半查找，叫做二分

for (int i = 0; i < n; i = i*2)
{
    cout<<"d";
}

int i = 1;
while (i < n)
{
    i = i*2;
}

O(N)

最基礎的循環執行n次

for (int i = 0; i < n; i++)
{   
    cout<< "d";
}

O(nlogN)

就是O(logn)代碼循環N遍 也就是兩重循環，一重循環爲n，第二重循環爲logN

for (int i = 0; i < n; i++)
{   
    //二分查找，或者O(logN)的算法
    while (i < n)
    {
        i = i*2;
    }
}

O(n^2) O(n³)

雙重O(n)嵌套
O(n³)相當於三層n循環，其它的類似。N的K次方就是n的K次循環
後面比如Ο(2^n) , Ο(n!)的時間複雜度太高，一般就不考慮使用了。
一個經驗規則：其中c是一個常量，如果一個算法的複雜度爲Ο(1)＜Ο(logn)＜Ο(n)＜Ο(nlogn),那麼這個算法時間效率比較高Ο(n2)＜Ο(n3)幾個則差強人意。，如果是2n ,3n ,n!，則不要考慮了。

如何計算時間複雜度

可以假設n爲5，看代碼執行幾行，然後假設n爲10看代碼執行幾行。由此得到時間複雜度。

舉例：計算1+2+3….n

第一種：for(int I = 1;I <= n;i++){ sum+=I;} 他的時間複雜度爲代碼執行N次，爲O(n)
第二種：求和公式n*(n+1)/2 則O(1)

舉例：斐波那契數列。1,1,2,3,5,8,13… F(n) = F(n-1) + F(n-2)

第一種：遞歸程序，def fib(n) { if(n ==1) return 1; return fib(n-1) + fib(n-2) }
遞歸時，時間複雜度： N =1執行1行， n=2執行3行 n=3執行4行 n=4執行8
N = 5執行13
類似於2的N次方的複雜度 空間複雜度爲S(1)
第二種方法：動態規劃使用臨時變量移動O(N) S(1)

    int fib(int n) {
        if (n < 2) {
            return n;
        }
        int a = 0;
        int b = 1;
        int sum = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            sum = (a + b) % 1000000007;
            a = b;
            b = sum;
        }
        return sum;
    }

一般我們討論的時間複雜度都是最壞時間複雜度

我們可以看到冒泡，交換，選擇，插入時間複雜度一樣爲n2所以他們的性能差不多
而基數，希爾，快速，歸併，堆排序，時間複雜度爲nlogn速度就要要快一些

空間複雜度

空間複雜度(Space Complexity)是對一個算法在運行過程中臨時佔用存儲空間大小的量度
我們用 S(n) 來定義。
空間複雜度比較常用的有：O(1)、O(n)、O(n²)

我們在寫代碼時，完全可以用空間來換取時間，比如說，要判斷某某年是不是閏年，你可能會花一點心思寫了一個算法，而且由於是一個算法，也就意味着，每次給一個年份，都是要通過計算得到是否是閏年的結果。還有另一個辦法就是，事先建立一個有2 050個元素的數組（年數略比現實多一點），然後把所有的年份按下標的數字對應，如果是閏年，此數組項的值就是1，如果不是值爲0。
可表示爲 O(1)
舉例：

    int i = 1;
    int j = 2;
    ++i;
    j++;
    int m = i + j;

代碼中的 i、j、m 所分配的空間都不隨着處理數據量變化，因此它的空間複雜度 S(n) = O(1)
O(1)是說數據規模和臨時變量數目無關，並不是說僅僅定義一個臨時變量。舉例：無論數據規模多大，我都定義100個變量，這就叫做數據規模和臨時變量數目無關。就是說空間複雜度是O(1)。

空間複雜度 O(n)
我們先看一個代碼：

int[] m = new int[n]
for(i=1; i<=n; ++i)
{
   j = i;
   j++;
}

這段代碼中，第一行new了一個數組出來，這個數據佔用的大小爲n，