二叉查找樹（BST）是一種父親節點的值大於左孩子的值，而小於右孩子的值，查找效率是O(logn)，但是在插入方面，可能在某些情況下使整個樹退化成鏈表。所以爲了進一步實現優化，有了紅黑樹的數據結構。
紅黑樹的特點：
（1）在父親節點和子節點的關係上，和BST樹是一致的。
（2）每個節點都有顏色標示
（3）根節點是黑色
（4）葉子節點爲NULL，也必須是黑色
（5）如果一個節點是紅色，則兩個孩子節點是黑色
（6）對於每個節點，從該節點到所有後代葉子節點的路徑上，均包含相同數目的黑色節點
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因爲在刪除或插入的時候，會進行局部的旋轉或者變色（後面會說），來維持二叉查找樹的特性，而不會使整個樹退化成鏈表，紅黑樹根節點到任意子節點的最大距離不大於最小距離的二倍。
左旋轉：假設在某個X節點上作左旋轉，如圖（假設Z不爲NULL）：
左旋轉後，X的右孩子成爲該子樹新的根節點，X變成新的新根節點的左孩子，而Y的左孩子轉換成了X的右孩子。
左旋轉流程圖
- 僞代碼
左旋轉
LEFT_REPORT(T, x)
y = right[x] //獲取x右孩子節點y
right[x] = left[y] //將y的左孩子找到，作爲x的右孩子
if(right[x] != null) //要是右孩子不是null
parent[left[y]] = x ; //將右孩子的父親節點設置成x
parent[y] = parent[x] //將y的父親節點設置成原來x的父親節點
if(parent[y] == null) //要是y父親節點是空的話
root[T] = y //將y作爲當前根節點
else if(x == left[parent[x]]) //要是X是左孩子
left[parent[x]] = y //將y設置成x的父親節點的左孩子，也就是使用y代替x之前的位置
else //否則就是右孩子
right[parent[x]] = y //使用y替換x的位置
left[y] = x //講x設置成y的左孩子（因爲是左旋轉）
parent[x] = y //將y設置成x的父親
右旋轉：即左旋轉的逆過程。
以上面第二個圖爲例子，以Y爲根節點的樹，左右旋轉，會將其左孩子轉換成根節點，而根節點Y會變成新的根節點的X的右孩子，最後X的右孩子轉換成Y的左孩子。
- 右旋轉
右旋轉
RIGHT_REPORT(T, x)
x = left[y] //獲取y的右孩子x
left[y] = right[x] //將x的右孩子作爲y的左孩子
if(right[x]) //要是x的右孩子不爲null
parent[right[x]] = left[y] //講右孩子的父親指針指向y
parent[x] = parent[y] //讓x的父親指針指向根節點y的父親節點
if(parent[y] == null) //要是y的父親節點是空，說明y就是根節點
root[T] = x //講x設置成樹的根節點
else if(y == left[parent[y]]) //x是其父親節點左孩子
left[parent[x]] = x //將y原來的父親節點左指針指向x
else
right[parent[x]] = x //使原來y的父親節點的右指針指向x
right[x] = y //將x的右指針指向y
parent[y] = x //將y的父親指針指向x
紅黑樹的插入操作，類似於於二叉搜索樹的插入操作，只是在他的基礎上進行了改進，先把節點按照二叉查找樹的插入方式進行插入，在把該插入的節點標記爲紅色（因爲從根節點到葉節點的黑節點數量要相等，所以暫時標記成紅色），插入以後需要維持二叉搜索樹的性質，所以就需要對部分子樹進行重新着色或者旋轉。使二叉樹重新平衡。
將新的節點加到樹中的過程就是不斷比較，比根節點大往右走，小於根節點，往左走，一直走到大於當前根節點小於根節點的右子樹。
完成左右和父親指針的指向，爲插入節點標記上紅色。
插入節點以後，樹是一顆BST樹，但是會失去紅黑樹的一些性質，需要變色和旋轉進行調整。
插入總結爲三種情況：
- 插入節點的父親節點是紅色，如圖想在原先紅黑樹中插入Z節點，插入後，破壞了性質【紅色節點的孩子節點全爲黑色】
所以需要進行變色操作，將插入的節點的父親節點和叔叔節點Y都塗成黑色。祖父節點7設置成紅色。變化後：
（要是插入的節點是父節點的右孩子，和上面的方法大同小異，相信聰明的你懂得！）
然後再繼續向上判斷是否破壞了紅黑樹的性質。
- Z的叔叔節點是黑色，並且插入節點是根節點的右孩子
- Z的叔叔節點是黑色，並且插入節點是根節點的左孩子
就情況2，如圖所示
這裏需要將以parent[z]作爲根節點左旋轉，轉換成情況3：
將z節點變成黑色，再將z節點的父親節點變成紅色，最後以z的父節點爲根進行右旋轉。這樣完成了紅黑樹的一次插入。
由上面的插入步驟來看，實現插入的三種情況是有轉換關係的，插入的時候，可以是第一種情況，然後再經過變色轉換成第二種情況後，那麼第二種情況通過旋轉又可以達到第三種情況，第三種情況是再經過旋轉就能又維護一個紅黑樹了。
也可以是第二種情況，轉換成第三種情況…這些過程通過z節點的動態變化來轉化。
下面是三種情況解決過程的僞代碼：
插入操作(在此操作之前有個插入操作，相當於BST插入節點的形式，比較簡單)
RB_INSERT_NODE
while(color[parent[z]] == RED) //要是當前父親節點顏色是紅色
if(parent[z] == left[parent[parent[z]]]) //當前節點的父親節點是其上一輩節點的左孩子
y=right[parent[parent[z]]] //記錄下叔叔節點
//情況1，z叔叔的顏色是紅色
if(color[y]==RED) //要是叔叔節點也是紅色
color[y] = BLACK
color[parent[z]] = BLACK //將叔叔和父親節點都變成黑色
color[parent[parent[z]]] = RED //祖父節點的顏色變成紅色
z = parent[parent[z]] //將祖父節點的顏色通過z記錄下來，這裏重置了z的值！！！
//第二種情況z是右孩子，叔叔節點是黑色
else if(z == right[parent[z]])
z=parent[z] //重新設置z爲當前根節點
LEFT_ROTATE(T,z) //進行一次坐旋轉，進入第三種情況，注意左旋轉使Z的位置重新變化！！！
//第三種情況，z是左孩子，叔叔節點爲黑色
color[parent[z]] = BLACK //將父親節點設置成黑色
color[parent[parent[z]]]=RED //祖父節點設置成紅色
//進行右旋轉
RIGHT_ROTATE(T, parent[parent[z]]) //注意右旋轉使z的值重新變化！！！
要是當前z節點的情況滿足while循環條件，繼續變色和旋轉
color[root] = BLACK //重新設置根節點顏色
- 刪除操作
如果刪除的節點是紅色的，則樹的性質不發生改變。要是黑色的話，則會導致紅黑樹的性質發生改變。
刪除節點主要可能破壞了以下性質：
如果刪除的節點y是黑色的
1.如果y是原來的根節點，而y的一個紅色孩子節點成爲了新的根節點，
2.如果x和parent[y]（此時parent[x]=parent[y]）都是紅色，則違反了【紅色節點的孩子節點都是黑色】這一性質（這裏的x代表刪除y以後，y位置的新節點）
3.刪除y將會導致先前包含y的路徑上黑節點個數減少1，使得【根節點到任何葉子節點的路徑上黑節點的個數相同】這一性質改變，改正這一問題的方法，可以將現在佔有y原來位置的節點x可以視爲包含一重額外的黑色，就是將包含（現在佔有y位置的節點）x所有路徑上的黑節點個數加1
4.當黑色節點被刪除時，將其黑色下推至其子節點，導致問題變成節點x即不是紅也不是黑，從而導致【每個節點是黑色，或者紅色】性質不成立。因爲給x增加一種顏色，即節點x是雙重黑色或者是紅黑色。這樣就分別給包含x的路徑上黑節點的個數貢獻2個或者1個，但是x的color仍然是RED（如果x是紅黑色）或者BLACK（如果x是雙重黑色）。一個節點額外的黑色反應在x指向他，而不是他的color屬性。
//刪除節點(前面操作和二叉查找樹的刪除差不多)
RD_DELETE(T, z)
if(left[z] == null || right[z] == null)
y = z //左孩子或者右孩子爲空
else y = tree-sucessor(z) //否則的話，y就等於某個具體的孩子節點
if(left[y] != null)
x = left[y] //使y的左指針指向x
else x = right[y]
parent[x] = parent[y] //使x的父節點指針指向y
if(parent[y] == null)
root[T] = x //將x設置成新的根節點
else if(y == left[parent[y]])
left[parent[y]] = x
else right[parent[y]] = x
if(y!=z)
key[z] = key[y]
y.left = z.left
y.left.p = y
y.color = z.color
if(color[y] == black)
RB_DELETE_FIXUP(T,x) //用來恢復紅黑樹的性質
return y
下面是恢復紅黑樹性質的過程了！
如果刪除的節點是紅色的話，紅黑樹的性質還是保持着，不用做修正操作。
要是刪除的是黑色節點，則導致包含該刪除節點的所有路徑少一個黑色節點，需要作修正操作。（要是刪除的是整棵樹唯一的黑色子節點，還是不用調整）
我們從替換被刪除節點的節點z開始，由於刪除節點導致少了一個黑色節點，我們可以認爲z有雙重顏色（多餘的那個顏色是一種假設），其中一個顏色是自帶的顏色，另一個顏色是從父親節點繼承下來。要是z節點的自身顏色是黑色，則刪除其父親節點後，他的顏色就變成了【黑黑】，否則就是【紅黑】，這樣是爲了保持性質【從根節點開始到任意每個葉子節點都經過相同數目的黑色節點】不變。然後我們回覆其他性質。
有以下情況：
1）當前節點z是紅+黑色
解法：直接把當前節點染成黑色，此時紅黑樹性質全部恢復
2）要是當前節點是黑+黑色且是根節點，什麼都不做，結束
3）當前節點是黑+黑色且兄弟節點爲紅色（此時父親節點和兄弟節點的子節點全爲黑）
如下圖：這種情況，w必須要有黑色子節點，所以改變w以及parent[z]的顏色，並對parent[z]做一次左旋轉。現在x的新兄弟節點是旋轉之前w的某個子節點，其顏色是黑色，轉換後性質沒發生變化，並將兄弟節點變成黑色。
實現僞代碼：
RD_DELETE_FIX(T,z)
while(z != root && color[z] == black)
if(z == left[parent[z]]) //這裏只考慮左子樹，右子樹的話同樣的道理
w = right[parent[z]]
if(color[w] == RED)
color[parent[z]] = RED
LEFT_ROTATE(T, parent[z])
w = right[parent[x]]
4）當前節點是黑加黑，並且兄弟是黑色且兄弟節點兩個子節點全爲黑色。
解決：因爲w是黑色的，所以從z和w上去掉一重黑色，使得x只有一重黑色，而w爲紅色，爲了補償從z和w上去掉的一重黑色，在原來是紅色或者黑色的parent[z]上新增一重額外的黑色，通過將parent[z]作爲新節點z，來重複while循環。
即調用RB_INSERT_FIXUP(T, z)
if(color[left[w]] == black && color[right[w]] == black)
color[w] = RED
z = parent[z]
5）z的兄弟節點w是黑色，w的左孩子節點是紅色，右孩子節點是黑色
可以交換w的左孩子和w的顏色，再進行右旋轉。現在z的新兄弟節點w是一個有着紅色有孩子的黑色節點
else if(color[right[w]] == BLACK)
color[left[w]] = BLACK
color[w] = red
right_rotate(T, w)
w = right[parent[z]]
6）z的兄弟節點w是黑色，且w的右孩子節點是紅色的（也類似於經過上面一步轉化的結果）。
解決：將w節點的顏色設置成parent[z]節點的顏色，parent[z]節點的顏色設置成黑色，w的右孩子right[w]設置成黑色，以parent[z]作爲根節點進行左旋轉。完成刪除工作。
color[w] = color[left[w]]
color]parent[z]] = BLACK
color[right[w]] = BLACK
LEFT_ROTATE(T, parent[z])
x = root(T)
參考文章：
https://blog.csdn.net/chenhanzhun/article/details/38405041
https://github.com/julycoding/The-Art-Of-Programming-By-July/blob/master/ebook/zh/03.01.md
http://www.cnblogs.com/Anker/archive/2013/01/30/2882773.html