孫燈亮博客<示波器波形參數測量和FFT分析> http://blog.sina.com.cn/s/blog_5d713e7a0100ka7o.html
FFT瞭解
FFT是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個信號變換到頻域。有些信號在時域上是很難看出什麼特徵的，但是如果變換到頻域之後，就很容易看出特徵了。這就是很多信號分析採用FFT變換的原因。另外，FFT可以將一個信號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經常用的。
現在圈圈就根據實際經驗來說說FFT結果的具體物理意義。一個模擬信號，經過ADC採樣之後，就變成了數字信號。採樣定理告訴我們，採樣頻率要大於信號頻率的兩倍。採樣得到的數字信號，就可以做FFT變換了。N個採樣點，經過FFT之後，就可以得到N個點的FFT結果。爲了方便進行FFT運算，通常N取2的整數次方。
假設採樣頻率爲Fs，信號頻率F，採樣點數爲N。那麼FFT之後結果就是一個爲N點的複數。每一個點就對應着一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號的幅度有什麼關係呢？假設原始信號的峯值爲A，那麼FFT的結果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流分量（即0Hz），而最後一個點N的再下一個點（實際上這個點是不存在的，這裏是假設的第N+1個點，也可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最後）則表示採樣頻率Fs，這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加。例如某點n所表示的頻率爲：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到頻率爲爲Fs/N，如果採樣頻率Fs爲1024Hz，採樣點數爲1024點，則可以分辨到1Hz。1024Hz的採樣率採樣1024點，剛好是1秒，也就是說，採樣1秒時間的信號並做FFT，則結果可以分析到1Hz，如果採樣2秒時間的信號並做FFT，則結果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力，則必須增加採樣點數，也即採樣時間。頻率分辨率和採樣時間是倒數關係。
假設FFT之後某點n用複數a+bi表示，那麼這個複數的模就是An=根號a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根據以上的結果，就可以計算出n點（n≠1，且n<=N/2）對應的信號的表達式爲：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
對於n=1點的信號，是直流分量，幅度即爲A1/N。
由於FFT結果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結果，即小於採樣頻率一半的結果。
總結：假設採樣頻率爲Fs，採樣點數爲N，做FFT之後，某一點n（n從1開始）表示的頻率爲：Fn=(n-1)*Fs/N；該點的模值除以N/2就是對應該頻率下的信號的幅度（對於直流信號是除以N）；該點的相位即是對應該頻率下的信號的相位。相位的計算可用函數atan2(b,a)計算。atan2(b,a)是求座標爲(a,b)點的角度值，範圍從-pi到pi。要精確到xHz，則需要採樣長度爲1/x秒的信號，並做FFT。要提高頻率分辨率，就需要增加採樣點數，這在一些實際的應用中是不現實的，需要在較短的時間內完成分析。解決這個問題的方法有頻率細分法，比較簡單的方法是採樣比較短時間的信號，然後在後面補充一定數量的0，使其長度達到需要的點數，再做FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。
數字示波器的FFT分析功能
FFT是一項很強大的分析功能，在數字示波器中普遍存在，基於先進的FFT分析，設計人員可以準確瞭解信號中引入的干擾信號頻點，信號功率譜，信號頻率構成，濾波電路截頻特性等。爲了更好的理解示波器FFT，下面我們不妨先來簡單地回顧一下FFT中幾個重要的參數和關係表達式。
採樣率：示波器的採樣頻率，用Fs表示。爲了讓講解內容更易於理解，下面不妨就以1GS/S這個值代替Fs作爲示波器的採樣率用來描述相關問題；
FFT點數：示波器用於FFT變換的樣本數據個數，用N表示。假如示波器可執行4M點的實時FFT運算（以致遠電子ZDS2022示波器爲例）。顯然用4M點做FFT變換，勢必需要驚人的運算能力和運算效率；
頻率分辨率：用△f 表示示波器能分辨的最小頻率。假設頻率分辨率爲10Hz，則可分辨10Hz、20Hz、30Hz……等10Hz整數倍的頻率點，但不能分辨出15Hz、25Hz、37Hz等非整數倍的頻率點。
如果被測信號中存在15Hz這樣的信號，顯然經過FFT變換後，頻譜上不會出現15Hz這個頻率點，即無法分析出來。但該頻點的能量並不會消失，而是將泄露到與之相近的10Hz 和20Hz 頻點上，不僅造成15Hz的信號分辨不出來，更是連10Hz和20Hz頻點的幅值也變得有錯誤，因爲15Hz頻點的能量泄露到這兩個頻點上去了。因此唯有進一步提高FFT的頻率分辨率，比如，提高到5Hz或1Hz或更高（△f值越小越好），才能準確分辨信號頻率成分。在採樣率一定時，若想提高頻率分辨率，則只能通過增加FFT點數來實現，但有個前提，那就是示波器必須具備足夠強的運算能力和足夠大的存儲深度，且兩者缺一不可。當然，還有另一種方法去提高頻率分辨率，那就是降低信號採樣率，但勢必會導致無法分析高頻信號，同時也面臨一個現實的問題，幾乎所有的示波器都是無法手動設置示波器的採樣頻率。
採樣時間：在採樣率Fs下，採集N個點所需要的時間，用T表示，顯然T=N / Fs。注意該採樣時間對應於FFT變換所用的N個點，而非整個示波器的捕獲時間。而示波器捕獲時間對應於整個存儲深度，當做FFT變換時，並不一定需要使用全部的存儲深度，因此兩者不等價。
事實上，上述的參數構成了一個重要關係式，將貫穿整個關於FFT的闡述之中。
△f = Fs / N （1）
即頻率分辨率等於採樣率除以FFT點數。將上述公式稍作變換：
△f = Fs / N =1 / (N / Fs) = 1 / T （2）
即頻率分辨率等於採樣時間的倒數。實際上公式（1）和（2）是等價的，只是從不同的角度來說明問題而已。
爲什麼示波器必須做到4M個點的實時FFT呢？常見的一些示波器，FFT最大隻支持8K個點，甚至有些示波器只有1K個點。根據上面的關係表達式可以看出，在1GS/S採樣率下，最高頻率分辨率只有
Fs/N=1GS/S/ 8K點 = 125KHz
也就意味着，如果被測信號不是125K的整數倍，則根本無法判斷信號頻譜。真實世界又能有多少個被測信號正好是125KHz的整數倍呢? 因此這種示波器的FFT沒有任何實用價值。這也是爲什麼普遍的示波器宣傳資料中，幾乎見不到關於FFT性能宣傳的根本原因。
有少量的示波器廠商對FFT做了深度優化，使得其示波器最大可支持數百萬點的FFT甚至更多，但高性能FFT一般都在高端示波器上，下面以周立功的ZDS2022爲例來介紹（4M FFT點，售價9999元，性價比是很高的）。根據上述的關係表達式，在1GS/S採樣率下，FFT的頻率分辨率仍能達到1GS/S / 4M點 = 250Hz。顯然，在1GS/S採樣率下能夠達到這樣的頻率分辨率，也就是說只要被測信號頻率是250Hz的整數倍，ZDS2022就能準確無誤地分辨出來。即便被測信號不是250Hz的整數倍，即便存在頻譜泄露，但在250Hz這麼小的頻率分辨率下，也能較準確地分析出被測信號的大致頻點。
假設被測信號中包含100KHz和150KHz兩種頻率分量，以及其它的一些更高頻率的信號，對於普通示波器來說，由於最大隻支持8K點FFT，即頻率分辨率只有125KHz，顯然無法分辨出100KHz和150KHz頻點信號。爲了證明這一點，我們不妨做一些測試。爲了避免真實信號中本身的干擾影響到分析的準確性，則採用MATLAB構建一個純正的信號來從數學原理上進行分析。下面設計一個信號：
y =0.7*sin(2*pi*100000*t) + 1.2*sin(2*pi*150000*t)
這是一個包含100KHz和150KHz兩種頻率分量的信號，幅值分別爲0.7和1.2，此信號詳見下圖：
原始信號（包含100KHz和150KHz兩種頻率分量）
下面分別以1GS/S採樣率對該信號採樣，做8K點和4M點的FFT變換，直接給出結果，其相應的代碼詳見程序清單。
程序清單 MATLAB代碼
按理說FFT可以直接分析出100KHz和150KHz頻率信號，真的是這樣？如下圖所示爲8K點FFT結果，爲何沒有看到100KHz和150KHz這兩個信號呢？而屏幕上只有一個125KHz的信號，且幅值既不是0.7，也不是1.2，卻是毫不相干的1.464。因爲在8K點時，頻率分辨率只有Fs/N=1GS/S / 8K = 125KHz，導致無法分辨100KHz和150KHz頻點，又由於頻譜泄露，250KHz頻點處都能看到幅值爲0.2249，直流分量（0Hz）也有幅值0.2062，顯然給出的信號中並無這兩個分量。那麼8K點FFT給了用戶正確結果嗎？顯然沒有。不單是幅值不正確，就連那些最基本的頻率分量都是錯的，這樣的FFT有何意義？
下面我們再來看一下4M點FFT得出的結果將會是怎樣，詳見下圖。由於4M點FFT時頻率分辨率高達250Hz，因此可以準確無誤地分辨出100KHz和150KHz頻點信號，且無頻譜泄露，100KHz信號幅值爲0.7，150KHz信號幅值爲1.2，準確無誤地給出了最真實的結果，4M點相對8K點的FFT優勢就在於此，可準確有效地分析出信號頻譜成分，爲用戶提供真正有用的頻譜結果。
假設要經常分析電路中存在的噪聲，又遇上示波器頻率分辨率不夠好，則無論如何都不能準確定位出噪聲來源。若採用帶4M點FFT分析的示波器（例如ZDS2022示波器）進行分析則會截然不同，因爲有4M點FFT，即使在1GS/S採樣率下，頻率分辨率仍能達到250Hz，所以在FFT變換後能準確發現20KHz的噪聲。聯想到所用的DC-DC電源，其開關頻率正好是20KHz，於是迅速定位到了噪聲來源。
ZLG ZDS2022示波器-最強FFT分析功能
綜上所述，客戶遇到的問題就是我們的機會所在，當在200MHz帶寬示波器上實現了4M點的FFT運算時，就可以在1GS/s採樣率下保證FFT的頻率分辨率達到250Hz水平，讓示波器真正成爲信號分析利器。