bzoj4129 Haruna's Breakfast

題目描述

Haruna每天都會給提督做早餐！ 這天她發現早飯的食材被調皮的Shimakaze放到了一棵
樹上，每個結點都有一樣食材，Shimakaze要考驗一下她。

每個食材都有一個美味度，Shimakaze會進行兩種操作：

1、修改某個結點的食材的美味度；
2、對於某條鏈，詢問這條鏈的美味度集合中，最小的未出現的自然數是多少。即 $\text{mex}$ 值。

請你幫幫Haruna吧。

題解

這裏補一下帶修莫隊和樹上莫隊的坑。

如果這題放在序列上的話，即求一段區間的 $\text{mex}$ 值的話，那就可以帶修莫隊+對數字分塊即可做到 $O(n^{\frac{5}{3}})$ 。於是補一下帶修莫隊。

帶修莫隊就是具有單點修改和區間詢問的莫隊，具體來說就是將詢問設有三個關鍵字： $l$ 所在的塊， $r$ 所在的塊，上一個修改的時間點，按照這個順序來排序。然後每次詢問的時候再維護 $p$ 指針表示進行了幾個修改操作即可。簡略證明一下複雜度：設塊的大小爲 $B$ ，修改次數爲 $c$ ，詢問次數爲 $q$ ，則對於 $p$ 指針來說，最壞移動 $O(\frac{cn^2}{B^2})$ 次，對於 $l$ 指針來說，最壞移動 $O(qB)$ 次 (怎麼感覺在寫物理) ，對於 $r$ 指針來說，最壞移動 $O(qB+\frac{n^2}{B})$ ，每次修改都是 $O(1)$ ，於是複雜度爲 $O(\frac{cn^2}{B^2}+qB+\frac{n^2}{B})$ 。一般題目不會說 $c,q$ 大小姑且當做 $m$ ，然後一般 $n=m$ ，於是爲 $O(\frac{n^3}{B^2}+nB+\frac{n^2}{B})$ ，當 $B$ 取 $n^{\frac{2}{3}}$ 時最優爲 $O(n^{\frac{5}{3}})$ 。

所以我們不妨考慮一下怎麼在樹上莫隊。

如何把一個序列表示成一棵樹呢？ $\text{dfs}$ 序？no，這裏是一種特殊的歐拉序，它是當訪問到一個點的時候加入序列中，當它的子樹都訪問完的時候再加一次，所以這個序列總共有 $2n$ 個點（即樹上每個節點都會被加入兩次）。然後我們設 $st[x],ed[x]$ 表示 $x$ 的初始和結束兩個位置。

對於詢問 $x,y$ ，設 $st[x]<st[y]$ ，於是我們分討一下：

1.若 $x$ 是 $y$ 的祖先，那對於 $[st[x],st[y]]$ 這段區間來說，只有 $(x,y)$ 這條鏈上的點會被加入一次，剩下的點都會被加入兩次，所以我們只要維護一次的點即可。
2.若 $x$ 不是 $y$ 的祖先，則 $ed[x]<st[y]$ ，那對於 $[ed[x],st[y]]$ 這段區間來說， $(x,y)$ 這條鏈上只有 $lca$ 沒有被加入，剩下的點都被加入一次，其它點都被加入兩次，所以特判一下 $lca$ 即可。

這樣就完成了樹上莫隊啦！效率爲 $O(n^{\frac{5}{3}})$ 。

代碼正在碼中，反正bzoj掛了（其實我想先交上作業）