假設檢驗

大樣本的情況下總體均值的假設檢驗

小樣本的情況下總體均值的假設檢驗

開篇引例：
某健身俱樂部欲根據往年的會員情況，制定2006年的會員發展營銷策略。主管經理估計俱樂部會員的平均年齡是35歲，其中25～35歲的會員佔總人數的70%。研究人員從2005年
入會的新會員中隨機抽取40人，調查得知他們的平均年齡是32歲，其中25～35歲的會員佔74%。根據這份調查結果，問主管經理的對會員年齡的估計是否準確？

統計學是通過假設檢驗的方法來解決上述問題的。
假設檢驗（hypothesis testing）和參數估計（parameter estimation）是統計推斷的兩個組成部分，它們都是利用樣本對總體進行某種推斷。
參數估計是用樣本統計量估計總體參數的方法，總體參數在估計之前是未知的。
假設檢驗則是先對的值提出一個假設，然後利用樣本信息去檢驗這個假設是否成立。

假設檢驗的原理

假設檢驗（hypothesis testing）也稱爲顯著性檢驗，是事先作出一個關於總體參數的假設，然後利用樣本信息來判斷原假設是否合理，即判斷樣本信息與原假設是否有顯著差異，從而決定應接受或否定原假設的統計推斷方法。
對總體作出的統計假設進行檢驗的方法依據是概率論中的“小概率事件實際不可能發生”原理。

假設檢驗的步驟

例題：
某健身俱樂部主管經理估計會員的平均年齡是35歲，研究人員從2005年入會的新會員中隨機抽取40人，調查得到他們的年齡數據如下。

試根據調查結果判斷主管經理的估計是否準確？

1.提出原假設和備擇假設
原假設（Null hypothesis）又稱零假設，是需要通過樣本推斷其正確與否的命題，用H₀表示。
• 本例中可以提出：H₀: m=35；這裏m表示總體會員的平均年齡，意味着總體會員的平均年齡與主管經理估計的35歲沒有差異。
與原假設對立的假設是備選假設（Alternative hypothesis），用H₁表示。
• 在本例中，備選假設意味着“總體會員的平均年齡與主管經理估計的會員平均年齡35歲
有顯著差異”，可以表示爲H₁ : m≠35。
原假設與備選假設互斥，檢驗結果二者必取其一。

原假設
1 陳述需要檢驗的假設
2 零假設用 H₀ 表示
3 代表“正常”的情形
4 總是包含等號“=”
5 檢驗以“假定原假設爲真”開始

備擇假設
1 爲原假設的對立情況
2 備擇假設用H₁表示
3 代表“不能輕易肯定的情況”
4 很少包含等號

2.確定適當的檢驗統計量
假設檢驗需要藉助樣本統計量進行統計推斷，稱爲檢驗統計量。不同的假設檢驗問題需要選擇不同的檢驗統計量。
在具體問題中，選擇什麼統計量，需要考慮的因素有：總體方差已知還是未知，用於進行檢驗的樣本是大樣本還是小樣本，等等。

3.選取顯著性水平，確定接受域和拒絕域

4.計算檢驗統計量的值

5.作出統計決策

總體均值的假設檢驗

大樣本的情況下總體均值的假設檢驗

雙側檢驗的拒絕域

2005年北京市職工平均工資爲32808元，標準差爲3820元。現在隨機抽取200人進行調查，測定2006年樣本平均工資爲34400元。按照5%的顯著性水平判斷該市2006年的職工平均工資與2005有無顯著差異？
（在本例題中，我們關心的是前後兩年職工的平均工資有沒有顯著的差異，不涉及差異的方向，因此，本題屬於雙側檢驗。檢驗過程如下：）
（1）提出假設： H0:m=32808；H1:m≠32808；
（2）總體標準差s已知，大樣本抽樣，故選用Z統計量；
（3）顯著性水平a=0.05，由雙側檢驗，查表可以得出臨界值。
判斷規則爲：若z>1.96或z<-1.96，則拒絕H0；若-1.96≤z≤1.96，則不能拒絕H0。
（4）計算統計量Z 的值

（5）檢驗判斷：由於，落在拒絕域，故拒絕原假設H0。
結論：以5%的顯著性水平可以認爲該市2006年的職工平均工資比2005年有明顯的差異。

單側檢驗的拒絕域

已知某電子產品的使用壽命服從正態分佈，根據歷史數據，其平均使用壽命爲8000小時，標準差爲370小時。現採用新的機器設備進行生產，隨機抽取了100個產品進行檢測，得到樣本均值爲7910小時。試問在5%的顯著性水平下，新的機器是否合格？
（這是一個左單側檢驗問題。抽樣的目的是爲了檢測新機器生產的產品的使用壽命是否達到標準，我們比較關心的是使用壽命的下限，如果新產品的使用壽命與過去相比沒有明顯降低，則說明所使用的新機器合格；反之，則說明新機器不合格。檢驗過程如下：）

某乳製品廠生產的一種盒裝鮮奶的標準重量是495克。爲了檢測產品合格率，隨機抽取100盒鮮奶，測得產品的平均重量爲494克，標準差爲6克，試以5%的顯著性水平判斷這批產品的質量是否合格。