場外模擬 省選聯考 2020 遊記

博客園同步

注：本人模擬省選 $A$ 卷。

前記

一場英語模擬期末直接萎掉之後心境垂垂暮老，然後來模擬省選增強一點信心。實際卻不大行

本來立的目標是口頭 $200$ 的，看完題發現 $150$ 的目標比較合適。

組合數問題

先開 $T2$ 的主要原因：覺得自己數論強。沒了。

$\sum_{k=0}^n f_i \times x^k \times C_n^k$

其中 $f = \sum_{i=0}^m a_i \cdot k^i$

算法一

暴力。$f_i$ 用 $\mathcal{O}(m)$ 的時間計算，$C_n^k$ 用楊輝三角，$x^k$ 遞推。

時間複雜度：$\mathcal{O}(nm)$.

實際得分：$15pts$.

$\texttt{Link}$ 代碼

算法二

注意到，$m=0$ 有部分分。

因此考慮，$m=0$ 時，即多項式降爲常數項，如何通過 $n \leq 10^5 , 10^9$ 的數據？

顯然，原式就變成了

$\sum_{k=0}^n a_0 \times x_k \times C_n^k$

$= a_0\times \sum_{i=0}^n x^i \cdot C_n^i$

你懵了，一看，唉？

$n \leq 10^5$，$p$ 還是質數？

那爺直接大力 $\texttt{Lucas} \space \mathcal{O}(n \log n)$ 過掉唄。

那 $n \leq 10^9$ 呢？你再看看這個式子 $\cdots$

等一下，哎？這怎麼那麼像什麼公式呢？

翻出 二項式定理 的小本本，我們發現：

$(x+1)^n = \sum_{i=0}^n x_i \cdot C_n^i$

誠然不會二項式的弱也就算了吧

顯然， $a_0 \times (x+1)^n$ 是個人都會算。

時間複雜度：$\mathcal{O}(\log n)$.

實際得分：$40pts$.

$\texttt{Link}$ 代碼

算法三

實際上，本人想不出，$m \leq 5$ 有什麼特殊的性質。

聽說正解是 第二類斯特林數 可是我模板都不會，告辭~

冰火戰士

結果 $T2 \space 40pts$ 是個好的預兆，$T1$ 一開發現貌似是個二分。

首先，$\mathcal{O}(Q \log x) \thickapprox 6.2 \times 10^7$ ，不是個好的複雜度。

其次，這玩意兒有單調性嗎？自己想一下，嗯 $\cdots$ 當它有吧。 你告訴我考場上也這麼猜唄

直接告訴我我能 $\text{A}$，所以直接想正解。

首先我們可以用 $\texttt{vector<pair>}$ 來維護雙方戰士。好像 bitset 也行，但畢竟是模擬考啊，自己不熟的還是不要用吧。

然後 $\texttt{vector}$ 的常數本身就很懸，加上上次機房的一個大佬信誓旦旦地和老師辯論說

vector 插入刪除很多個數會直接爆棧，要去找內存  

找內存 = ？

不管，考場策略。再說就算 $\text{T}$ 也不怕，反正不是正式考？

那問題來了，你 $\log$ 二分掛在哪兒，總不能 $\mathcal{O}(Q)$ 驗證吧？那才 30 分好吧

算了一下，自己 $\text{T}2$ 調試了 $1.5h$，那正式考場還有 $4h$ 肯定，肯定能寫到 $30$.

T3

爲了表現本人對此題的足夠不重視，連題目名字也一律去掉了。

顯然 $15$ 分手到擒來，因爲正式考試會有足夠時間調試，我也有這個信心。

$\text{Day1}$

以上，$30+40+15 = 85$ 開幕雷擊。

信號傳遞

畢竟是初一，唉，省選還是弱，弱，弱。

一開題就想到了 $\mathcal{O}(m \text{!} \cdot n)$ 的算法。一看數據範圍，就 $30$ 分啊？

錘子吧？

好，這個數據很有梯度，是在誤導我用 $\mathcal{O}(2^m \cdot m)$ 的暴力？

首先，這個 $30$ 的暴力再簡單不過了。所有的數據聚焦在 $20+$ 只說明 $\mathcal{O}(2^m \cdot m)$ 需要大力卡常，$m=23$ 的時候達到了將近 $2 \times 10^8$，有點懸。

說的好像我寫出來了似的

分析一下，這可以說明，$\mathcal{O}(n)$ 的驗證不科學。

我們可以把每兩個信號站的傳遞次數記錄，然後用 $\mathcal{O}(m^2)$ 的時間驗證，繼續暴力。

看似優了，實則 $\mathcal{O}(m! \cdot m^2)$ 還是過不了。

等一下，這個 $4 \times 10^8$ 的卡常可以試一試，畢竟 $\texttt{LUOGU}$ 的評測機不錯，可惜沒有冥間數據。要是能卡過就是 $60$ 了。

毫不客氣地，$m=21$ 顯然這過不了了，幾乎到了 $10^9$ 級。

$60$ 滾粗，沒了。代碼不寫了。因爲暴力全排的寫法太簡單，估計 $1h$ 就能輕鬆拿到 $60$.（$\text{Day1T2}$ 我 $2h$ 才 $40$，現在呢？）

等一下，我從夢裏醒來了，我才發現自己寫的是 $\mathcal{O}(m! \cdot m^2)$ 而不是 $\mathcal{O}(2^m \cdot m^2)$.

所以還是 $30$ 萎掉了啊。

樹

一坨異或感覺不妙。上次 $\text{NOI ONLINE TG 3}$ 的異或我就是找週期瞎寫結果 $70$ 的，反正自己很討厭異或！

我發現有 $10$ 的暴力分，$20$ 的鏈分，$20$ 的權值 $1$ 的分。

暴力分只需要 $10 \text{min}$ 就可以輕鬆到手。

權值 $1$ 和 鏈 沒有找到絲毫線索。

所以就這麼點分唄？

鏈的話，對於 $u$，我需要計算 $(v_1+1)⊕(v_2+2)⊕ \cdots⊕(v_t+3)$ （$v$ 爲子樹集合），那麼顯然這玩意兒算不了。等一下 $\cdots \cdots$ 爲什麼不用 $\text{Trie}$ 樹試着維護呢？我覺得可以試試。

不過這裏不大行啊。

權值爲 $1$ 的話，$\text{Trie}$ 是可以試試的。畢竟，求距離 $+1$ 的異或值麼，異或可以用 $\text{Trie}$ 維護，沒了。

那怎麼維護呢？假設對於 $u$ 建立兒子節點集合（非子樹集合） $v$，考慮從 $v \rightarrow u$ 怎麼搞？誠然，我們需要把當前 $\text{Trie}$ 的值全體 $+1$ （可以在詞尾標記修改的，但是時間會炸裂），然後再合併。可能是本人比較菜罷

再見，$10$ 分。

作業題

懷着 $125$ 分的渣成績，寄希望於最後一題。

顯然就算我 A 掉這道題也進不了隊的

感覺暴力分挺多，不慌，爺的目標 $150$ 估摸着可以試一試的。

首先，$\mathcal{O}(C_m^{n-1} \log w)$ 穩穩地過掉了 $10$ 分。

估摸着生成樹應該沒有那麼多吧。不要和 CCF 講概率了

$w_i$ 均相同？好性質啊，那 $\gcd$ 恆爲常數 是個好東西！

那麼，這題顯然弱化爲：

求一個無向圖所有生成樹的邊權之和。

就這？不會。

然後發現 $m \leq n$，然後連通 $\cdots$ 說明一點：這是棵樹（基環樹）！

顯然對於一棵樹，它的生成樹個數只有 $1$ 個，它自己，瞎求就行了。

對於 基環樹，顯然，生成樹個數是環的長度，這是破環爲鏈的一個思想。

我們可以求出環外的 $\sum$ 和 $\gcd$，然後穩穩地枚舉環。

哈哈！那爺不就 $30$ 了 激動啥

至少 $155$ 目標達成了，耶！

顯然，$w_i$ 均爲質數是 $w_i$ 均相同的加強版，所以考慮，如何求出一個圖所有生成樹的邊權之和。

大力枚舉大概 $n \leq 30$ 是過不了的耶！再見。

總結

作爲場外初一模擬省選，沒有條件用 $9h$ 的時間模擬考試，只用 $2h$ 的時間寫了 $\text{Day1 T1,2}$ 並初步看了其它題的思路。

顯然這次 $155$ 離進隊還是很遠的（$\frac{1}{2}$ 進隊吧？），但是暴力分拿滿了，沒什麼遺憾的了。

今番良晤，豪興不淺，他日江湖相逢，再當杯酒言歡。咱們就此別過。江湖路遠，各位請一路珍重。