尺度不變特徵變換匹配算法詳解
Scale Invarian Feature Transform
本文大量引用了文章 ： https://blog.csdn.net/zddblog/article/details/7521424 ，十分感謝
數學常識鏈接庫 ：
拉格朗日乘子法 ： https://www.matongxue.com/tags/47/
泰勒公式 ： https://www.zhihu.com/question/21149770/answer/219143281
以及 https://blog.csdn.net/xm961217/article/details/101021153
泰勒近似 ： https://www.zhihu.com/question/52124268
子像素插值 ： https://www.cnblogs.com/ronny/p/4028776.html
差分 ： https://zhuanlan.zhihu.com/p/46699931
1. 介紹
SIFT 算法主要是對局部特徵進行提取的算法 ，不受亮度 ，旋轉 ，縮放的影響 ，對放射變換，透視變換 ，視角變換也有一定的穩定性 。
只需要檢測到三個 SIFT 特徵點 ，就可以檢測物體 。
2. 實現步驟
① 尺度空間極值檢測
② 關鍵點定位
③ 方向確定
④ 關鍵點描述
注意 ：尺度空間爲 觀察物體的窗口大小
而 SIFT 對圖片所做的高斯模糊處理 ，是採取了對高斯模糊分離的辦法 ，將矩陣分爲一行與一列 ，將會使高斯模糊的 時間複雜度從 O(n * m * M * N) 降低到 O( n * M *N ) + O(m * M * N) ，在邊緣上的一維矩陣會忽略圖片外的因素 。
並消除黑邊問題 。
由 
尺度空間實現時用高斯金字塔來表示 ，
3. 高斯金字塔的構建
1. 對圖片做不同尺度的高斯模糊處理
2. 對圖片進行降採樣 （隔點採樣）
圖像的金字塔模型是指，將原始圖像不斷縮小 ，從大到小 ，從下到上 ，構成金字塔 。
一般上一層比下一層長和寬各縮小一倍 。
而在特徵提取函數上 ，尺度歸一化的高斯拉普拉斯函數 與 高斯差分函數（DOG） 十分的近似 ，但 DOG 函數更加的高效 ，簡潔 。
因此引用 DOG 來進行極值的檢測
在高斯金字塔中通過上下相鄰的圖像相減 ，得到高斯差分圖像 ，（注意:這裏是對每一層中大小相同的圖片 ，但使用了不同的參數做了高斯模糊）
4. 極值點檢測（關鍵點的初步檢測）
關鍵點的檢測是在相同尺寸之間的圖像之間比較得到 ，每個像素點要和他相鄰的點比較 ，（ 8 鄰域 + 9 * 2 =26 個像素） ，看是不是比他的鄰域與尺度域的點大或者小 ，確保在 尺度空間和二維空間上都能檢測到極值點 。
這樣就能找到大部分極值點 ，包括響應弱的極值點 。
（注意 ： 由於要在相鄰尺度進行比較，如每組含4層的高斯差分金子塔，只能在中間兩層中進行兩個尺度的極值點檢測，其它尺度則只能在不同組中進行。爲了在每組中檢測S個尺度的極值點，則DOG金字塔每組需S+2層圖像，而DOG金字塔由高斯金字塔相鄰兩層相減得到，則高斯金字塔每組需S+3層圖像，實際計算時S在3到5之間。）
5. 構建尺度空間所需要的參數
在最開始建立高斯金字塔時，要預先模糊輸入圖像來作爲第0個組的第0層的圖像，這時相當於丟棄了最高的空域的採樣率。因此通常的做法是先將圖像的尺度擴大一倍來生成第-1組。我們假定初始的輸入圖像爲了抗擊混淆現象，已經對其進行
O—組(octave)數
S— 組內層數
在上述尺度空間中，O和S，
其中
取式(3-4)中的k爲組內總層數的倒數，即
在構建高斯金字塔時，組內每層的尺度座標按如下公式計算：
其中初始尺度，lowe取，s爲組內的層索引，不同組相同層的組內尺度座標相同。組內下一層圖像是由前一層圖像按進行高斯模糊所得。式(3-7)用於一次生成組內不同尺度的高斯圖像，而在計算組內某一層圖像的尺度時，直接使用如下公式進行計算：
該組內尺度在方向分配和特徵描述時確定採樣窗口的大小。
由上，式(3-4)可記爲
圖3.5爲構建DOG金字塔的示意圖，原圖採用128*128的jobs圖像，擴大一倍後構建金字塔。
6. 關鍵點精確定位
以上方法檢測到的極值點是離散空間的極值點，以下通過擬合三維二次函數來精確確定關鍵點的位置和尺度，同時去除低對比度的關鍵點和不穩定的邊緣響應點(因爲DoG算子會產生較強的邊緣響應)，以增強匹配穩定性、提高抗噪聲能力。
而離散空間的極值點與連續空間的極值點是不一樣的 ，獲取連續空間的極值點的方法叫做 子像素插值（Sub-pixel Interpolation）