【原創】 中國剩餘定理 和 拓展中國剩餘定理

孫子

Preface

數論學習Part 7。
每天進步一點點，退役不會太丟臉。

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聯賽只剩十五天，隔靴搔癢智何添？
剩餘定理四天一篇，動歸圖論又幾何，數據結構似雲煙。
莫再等閒，莫忘時間。

CRT

我們小時候都做過這種問題，一個數$x$它滿足$x\equiv \begin{cases}a_1 &\mod p_1 \\ a_2 &\mod p_2 \\ &\vdots \\ a_n & \mod p_n\end{cases}$，然後讓你求出一個最小的x出來。要求所有的$p$互質。

遇到這種問題以前的我一般會各寫幾項出來，然後找相同。
這個時候孫子站了出來，他說出：記$P=\prod p$，則$x=\sum_{k=1}^{k=n}a_k{\frac{P}{p_k}}t_k$，$t_k是\frac{P}{p_k}關於p_k的逆元$。這是x的一個解，如果你逆元是最小正逆元，那這個x就是最小正解。

爲什麼呢？
證明啊……。

$先看x\equiv a_1 \mod p_1。$
$因爲\frac{P}{p_1}與p_1互質，所以\href{https://blog.csdn.net/c20182030/article/details/102631472#11_20}{肯定找得到數t_1使得\frac{P}{p_1}t_1\equiv 1\mod p_1},這個t_1被稱爲\frac{P}{p_1}關於p_1的逆元。$
$那麼就有x\equiv a_1\equiv a_1\times 1\equiv a_1\frac{P}{p_1}p_1\mod p_1。$
$因爲\frac{P}{p_1}=p_2\times p_3\times \cdots \times p_n，所以有a_1\frac{P}{p_1}p_1\equiv 0 \pmod {p_2},\pmod{p_3},\cdots,\pmod {p_n}。$←不標準的表達，應當扣分
$以此類推，a_2\frac{P}{p_2}t_2就滿足模p_2時與x同餘，模其它p的時候得到0。$
$那麼這些東西的和——s=\sum_{k=1}^{k=n}a_k{\frac{P}{p_k}}t_k，一定滿足s\equiv a_1+0\times(n-1)\mod p_1，$$s\equiv a_2+0\times(n-1)\mod p_2，$$s\equiv a_3+0\times(n-1)\mod p_3，\cdots，$$s\equiv a_n+0\times(n-1)\mod p_n$，所以可以認爲$s$是原方程的一個解。那麼通解就是$s+zP,z\in \Z$。

Q.E.D
就這？

代碼

洛谷板子題，雙倍經驗。

曹衝養豬

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
void Read(ll &p)
{
	p=0;
	int f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0' || c>'9') 
	{
		if(c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0' && c<='9')
		p=p*10+c-'0',c=getchar();
	p*=f;
}

void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)
{
	if(!b){d=a,x=1,y=0; return;}
	exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=(a/b)*x;
}

ll n,ans,d,x,y,P=1,a[1024],p[1024];

int main()
{
	Read(n);
	for(ll i=1;i<=n;i++) Read(p[i]),Read(a[i]),P*=p[i];
	for(ll i=1;i<=n;i++) exgcd(P/p[i],p[i],d,x,y),ans+=a[i]*(P/p[i])%p*x,((ans%=P)+=P)%=P;
	

[TJOI2009]猜數字。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
void Read(ll &p)
{
	p=0;
	int f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0' || c>'9') 
	{
		if(c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0' && c<='9')
		p=p*10+c-'0',c=getchar();
	p*=f;
}

void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)
{
	if(!b){d=a,x=1,y=0; return;}
	exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=(a/b)*x;
}

ll mul(ll a,ll b,ll p)
{
	return ((a*b-(ll)((long double)a/p*b+1e-8)*p)%p+p)%p;
}

ll n,ans,d,x,y,P,a[1024],p[1024];

int main()
{
	Read(n),P=1;
	for(ll i=1;i<=n;i++) Read(a[i]);
	for(ll i=1;i<=n;i++) Read(p[i]),((a[i]%=p[i])+=p[i])%=p[i],P*=p[i];
	for(ll i=1;i<=n;i++) exgcd(P/p[i],p[i],d,x,y),ans+=mul(mul(a[i],P/p[i],P),x,P),((ans%=P)+=P)%=P;
	printf("%lld\n",ans);
}

EXCRT

現在這些p不一定互質了。

我們先看頭兩個方程吼，$\begin{cases}x\equiv a_1\mod p_1\\x\equiv a_2 \mod p_2\end{cases}$。
那麼就有$x=k_1\times p_1+a_1=k_2\times p_2+a_2\rArr k_1\times p_1-k_2\times p_2=a_2-a_1$。
令$gcd(p_1,p_2)=g$，則同時除就有$k_1\frac{p_1}{g}-k_2\frac{p_2}{g}=\frac{a_2-a_1}{g}\iff k_1\frac{p_1}{g}\equiv \frac{a_2-a_1}{g}\mod {\frac{p_2}{g}}$，其中$gcd(\frac{p_1}{g},\frac{p_2}{g})=1$。
注意，如果$g\nmid {a_2-a_1}$，則無解。
因爲這兩個數互質，所以可以求出逆元來，就有：$k_1\equiv \frac{a_2-a_1}{g}\times (\frac{p_1}{g})^{-1}\mod \frac{p_2}{g}$。
所以設$k_1=q\times \frac{p_2}{g}+\frac{a_2-a_1}{g}\times (\frac{p_1}{g})^{-1}$。

知道$k_1$了，我們就知道了$x$。
$x=k_1\times p_1+a_1=\left(q\times \frac{p_2}{g}+\frac{a_2-a_1}{g}\times (\frac{p_1}{g})^{-1}\right) \times p_1+a_1=q\times\frac{p_1p_2}{g}+\frac{a_2-a_1}{g}\times (\frac{p_1}{g})^{-1}\times p_1+a_1$
$\iff x\equiv\frac{a_2-a_1}{g}\times (\frac{p_1}{g})^{-1}\times p_1+a_1 \mod \frac{p_1p_2}{g}$。

我們把兩個同餘式合成了一個，太棒了。
看來我們可以做很多次，最後得到一個方程$x\equiv A\mod B$。
$x$肯定可以隨便解了。

代碼

洛谷板子題，【模板】擴展中國剩餘定理（EXCRT）。

居然一次過編譯過樣例，還直接A掉了。
我佛了。

太醜了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
void Read(ll &p)
{
	p=0;
	int f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0' || c>'9') 
	{
		if(c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0' && c<='9')
		p=p*10+c-'0',c=getchar();
	p*=f;
}

ll gcd(ll a,ll b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)
{
	if(!b){d=a,x=1,y=0; return;}
	exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=(a/b)*x;
}

ll mul(ll a,ll b,ll p)
{
	return ((a*b-(ll)((long double)a/p*b+1e-8)*p)%p+p)%p;
}

ll n,A,B,C,D,E,d,p,x,y;

int main()
{
	Read(n),n--,Read(B),Read(A);
	while(n--) Read(D),Read(C),d=gcd(B,D),exgcd(B/d,D/d,p,x,y),E=B/d*D,(A+=mul(mul((C-A)/d,x,E),B,E))%=E,B=E;
	printf("%lld\n",(A%B+B)%B);
}

CanKaoWenXian

CRT：其實是在我看了好幾篇舉個例子就說自己證好了的博客以後，再看到這篇博客的時候突然懂了，所以就以這篇博客爲參考文獻了。不過這篇文章確實給了我參考。

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EXCRT
貞德真的好看。（不是貞德當我沒說）

說在後面

問了問數競的同學，他們的中國剩餘定理是證明其有解，然後數學歸納法就整出來了。
好吧，他們確實算不出來逆元。