圓圈中最後剩下的數字（36）

題目

【首先,讓小朋友們圍成一個大圈，小朋友的編號是從0到n-1。然後隨機指定一個數m,讓編號爲0的小朋友開始報數。每次喊到 m-1 的那個小朋友要出列唱首歌,然後可以在禮品箱中任意的挑選禮物,並且不再回到圈中,從他的下一個小朋友開始,繼續0…m-1報數…這樣下去…直到剩下最後一個小朋友，求最後一個小朋友的編號。如果沒有小朋友，請返回-1】

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方法一

1、分析

• 該題是約瑟夫環問題，可以採用環形鏈表的方式來模擬圓圈。該環形鏈表共有n個節點，每次刪除第m-1個節點(從0開始計數)。
• 使用標準模板庫中的list來進行操作，每次刪除一個元素需要運行 m 步，若共有n個數字，則其時間複雜度爲 $O(mn)$ ，同時還需要一個輔助的鏈表來模擬圓圈，其空間複雜度 $O(n)$ 。

2、代碼

class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if(n<1 || m<1)
            return -1;
        list<int> num;
        for(int i=0;i<n;++i)
            num.push_back(i);
        list<int>::iterator curNum=num.begin();
        while(num.size()>0)
        {
            if(num.size()==1)
                return  *curNum;
            //注意初始時迭代器是指向第一個元素，所以是從j=1開始，而不是0
            for(int j=1;j<m;++j)
            {
                curNum++;
                if(curNum==num.end())
                {
                    curNum=num.begin();
                }
            }
            list<int>::iterator nextNum=++curNum;
            if(nextNum==num.end())
                nextNum=num.begin();
            num.erase(--curNum);
            curNum=nextNum;
        }
    }
};

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方法二：

1、分析

• 由於使用環形鏈表的方式來刪除對應的元素，每次刪除元素會有大量的重複遍歷過程，且需要藉助額外的空間，所以可以使用更好的方法。
• 當有n個元素時，刪除第m個元素，則第一個被刪除的元素爲 $k=(m-1)\%n$ (因爲m可能會大於n，所以要對n取模)。剩下的爲 0,1,2······，k-1, k+1,···,n-1 。並且下一次刪除數字時從 k+1 開始計數，相當在剩下的序列中 k+1 排在最前面： k+1,···,n-1 , 0,1,2······，k-1。
• 可以將該過程看成關於 m 和 n 的函數，設： $f(n,m)$ 爲在n個數字中不斷的刪除第m個數字，最後所剩下的數字。設 $g(n-1,m)$ 爲刪除第一個數字之後，所剩下的數字中再不斷的刪除第m個數字，最後所剩下的數字。顯然 $f(n,m)=g(n-1,m)$ 。
• 接下來將 k+1,···,n-1 , 0,1,2······，k-1 這些數字映射成 0~n-2 的序列

k+1 --> 0
k+2 --> 1
·······
n-1 --> n-k-2
0 --> n-k-1
1 --> n-k
····
k-1 --> n-2

最終的迭代公式爲：$f(n,m)=\begin{cases} 0 & n=1\\ [ f(n-1,m)+m]\%n & n>1 \end{cases}$
2、代碼

class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if(n<1 || m<1)
            return -1;
        int last=0;
        for(int i=2;i<=n;++i)
        {
            last=(last+m)%i;
        }
        return last;
    }
};