線性相關 線性無關

1.線性相關(linearly dependent)與線性無關的(linearly independent)定義

線性相關的定義爲：
對於一組向量$v_1, v_2, \cdots, v_n$，如果存在一組不全爲0的整數$k_1, k_2, \cdots, k_n$，使得$k_1v_1 + k_2v_2 + \cdots + k_nv_n = 0$成立，那麼這組向量是線性相關的。如果只有當$k_1, k_2, \cdots, k_n$均爲0時等式才成立，該向量組爲線性無關的。

2.簡單理解

上面的定義不是特別好理解，下面我們換一種更容易理解的方式。
如果有一組不全爲0的數，那至少有一個數不爲0，假設$k_n$不爲0，那麼該組向量線性相關。
$k_1v_1 + k_2v_2 + \cdots + k_nv_n = 0$
可以得知
$-k_1v_1 - k_2v_2 +-\cdots -k_{n-1}v_{n-1} = k_nv_n$

$v_n = -\frac{k_1}{k_n}v_1-\frac{k_2}{k_n}v_2 - \cdots -\frac{k_{n-1}}{k_n}v_{n-1}$

不難看出，$v_n$可以由其他向量的線性組合表示，也就是說這個向量組是線性相關的。

3.實例

再舉兩個簡單例子，$v_1 = (1, 0), v_2 = (0, 1)$，這就是我們熟悉的笛卡爾座標系。如果要使得$k_1v_1 + k_2v_2=0$，必有$k_1=k_2=0$，因此這組向量線性無關。
如果$v_1 = (1, 1), v_2 = (-1, -1)$，很明顯$v_1 + v_2 = 0$，此時存在$k_1 = k_2 = 1$，使得$k_1v_1 + k_2v_2 = 0$，因此這組向量是線性相關的。

4.一些結論

1.當向量組所含向量的個數與向量的維數相等，該向量組線性無關的充要條件爲該向量構成的行列式值不爲0。
2.由該向量組構成的齊次方程組，如果該其次方程組有非零解，則該向量組線性相關。如果該方程組只有零解，則該向量組線性無關。
3.若向量組的秩等於向量的個數，則該向量組是線性無關。如果秩小於向量的個數，則該向量組線性相關。
4.若向量組所含向量的個數多於向量的維數，該向量組一定線性相關。